Центр описанной окружности равнобедренного треугольника всегда лежит на высоте, и это свойство помогает нам решить задачу. Давайте обозначим высоту треугольника за h. По условию, высоту h можно разделить на два отрезка: один равен 8 см, а другой – оставшейся части высоты.
Так как центр описанной окружности лежит на высоте, которая делит ее на два отрезка, то этот треугольник стандартный для решения задачи. Рассмотрим созданный нами прямоугольный треугольник с катетами 8 см и h1, где h1 – высота от центра окружности до основания треугольника.
С помощью пифагоровой теоремы мы можем найти значение h1:
h1^2 + 8^2 = (0.5h)^2
h1^2 + 64 = 0.25h^2
h1^2 = 0.25h^2 - 64
h1 = sqrt(0.25h^2 - 64)
Теперь, поскольку треугольник равнобедренный, то h1 равно половине основания треугольника, то есть 6 см. Таким образом, мы можем найти значение h:
h = 2 × 6 = 12 см
Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу:
S = 0.5 × основание × высота
S = 0.5 × 12 × 12
S = 72 см^2
Итак, площадь данного равнобедренного треугольника составляет 72 квадратных сантиметра.
