.

Привет! Давай разбираться с задачей. Нам нужно решить Вариант II, Рис. 5.95. **Задание:** 1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADB = 40°, ∠BDC = 10°. Доказать: ∆ABD ≅ ∆DCA. Из условия задачи следует, что ∠ADB = 40°, а так как ∠B = 90°, то ∠ABD = 90° - 40° = 50°. Аналогично, в треугольнике DCA имеем ∠DCA = 90° - ∠BDC = 90° - 10° = 80° и ∠DAC = 180° - 90° - 80° = 10°. Так как ∠BDC = 10°, то ∠DAC = ∠BDC. Это углы, лежащие против равных сторон BD и AC треугольника ABC, где BD = AC, в свою очередь, из равенства этих углов следует равенство сторон AD и BC. Тогда по двум сторонам и углу между ними ∆ABD ≅ ∆DCA. Теперь рассмотрим вторую часть задания на рис. 5.96. **Задание:** Дано: AB = BC, AC = 10 см. а) Между какими целыми числами заключена длина высоты ∆ABC? б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку T с серединами сторон ∆ABC. а) Высота правильного треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Высота H из вершины C будет являться медианой и биссектрисой, следовательно точка O – центр окружности, описанной вокруг ∆ABC, и точка пересечения медиан. Для правильного треугольника формула высоты h = a * √3 / 2, где a – сторона треугольника. Так как AC = 10 см, то h = 10 * √3 / 2. Число √3 примерно равно 1.73, следовательно h ≈ 8.65 см. Таким образом, длина высоты заключена между 8 и 9 см. б) Так как точка T – центр вписанной окружности правильного треугольника, то отрезки, соединяющие точку T с серединами сторон будут радиусами вписанной окружности. Формула радиуса вписанной окружности r = a / (2√3). Следовательно, r = 10 / (2√3) ≈ 10 / 3.46 ≈ 2.89 см. Так как у нас три радиуса, сумма длин будет примерно равна 3 * 2.89 = 8.67 см. Надеюсь, это поможет тебе с решением задачи! Если возникнут ещё вопросы – обращайся.