Хорошо, давай посмотрим на задачу номер 20. Приведена система уравнений:
$$ x^2 + y^2 = 37 $$
$$ xy = 6 $$
Нам нужно решить эту систему. Итак, давай заметим, что первое уравнение похоже на уравнение окружности с радиусом, являющимся квадратным корнем из 37, а второе уравнение — это уравнение гиперболы. Как тебе такая идея: используем подстановку и заменим ё один из x или y из второго уравнения в первое?
Мы можем выразить ( x ) через ( y ) из второго уравнения:
$$ x = \frac{6}{y} $$
Теперь подставим ( x ) в первое уравнение:
$$ \left( \frac{6}{y} \right)^2 + y^2 = 37 $$
Теперь решим это уравнение по ( y ). Умножим обе части уравнения на ( y^2 ), чтобы избавиться от знаменателя:
$$ 36 + y^4 = 37y^2 $$
Теперь приведём уравнение к квадратному, сделав замену ( z = y^2 ):
$$ 36 + z^2 = 37z $$
Переносим все слагаемые в одну сторону:
$$ z^2 - 37z + 36 = 0 $$
Это квадратное уравнение относительно ( z ), и мы можем решить его через дискриминант. Находим корни:
$$ z_{1,2} = \frac{37 \pm \sqrt{37^2 - 4 \cdot 36}}{2} $$
Считаем дискриминант:
$$ D = 37^2 - 4 \cdot 36 = 1369 - 144 = 1225 $$
Корень из дискриминанта:
$$ \sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35 $$
Получаем корни уравнения:
$$ z_{1,2} = \frac{37 \pm 35}{2} $$
$$ z_1 = \frac{37 + 35}{2} = 36 $$
$$ z_2 = \frac{37 - 35}{2} = 1 $$
Теперь вернёмся к исходной переменной ( y ):
$$ y^2 = 36 \Rightarrow y = \pm 6 $$
$$ y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1 $$
И, соответственно, найдём ( x ) используя уравнение ( xy = 6 ):
Для ( y = 6 ):
$$ x \cdot 6 = 6 \Rightarrow x = 1 $$
Для ( y = -6 ):
$$ x \cdot (-6) = 6 \Rightarrow x = -1 $$
Для ( y = 1 ):
$$ x \cdot 1 = 6 \Rightarrow x = 6 $$
Для ( y = -1 ):
$$ x \cdot (-1) = 6 \Rightarrow x = -6 $$
Итак, мы получили четыре решения системы уравнений:
$$ (x; y) = (1; 6), (-1; -6), (6; 1), (-6; -1) $$
Вот и всё! Обязательно проверь каждую пару в исходной системе уравнений, чтобы убедиться, что они действительно подходят.
