Задача номер 20

Хорошо, давай посмотрим на задачу номер 20. Приведена система уравнений:

$$ x^2 + y^2 = 37 $$ $$ xy = 6 $$

Нам нужно решить эту систему. Итак, давай заметим, что первое уравнение похоже на уравнение окружности с радиусом, являющимся квадратным корнем из 37, а второе уравнение — это уравнение гиперболы. Как тебе такая идея: используем подстановку и заменим ё один из x или y из второго уравнения в первое?

Мы можем выразить \( x \) через \( y \) из второго уравнения:

$$ x = \frac{6}{y} $$

Теперь подставим \( x \) в первое уравнение:

$$ \left( \frac{6}{y} \right)^2 + y^2 = 37 $$

Теперь решим это уравнение по \( y \). Умножим обе части уравнения на \( y^2 \), чтобы избавиться от знаменателя:

$$ 36 + y^4 = 37y^2 $$

Теперь приведём уравнение к квадратному, сделав замену \( z = y^2 \):

$$ 36 + z^2 = 37z $$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$ z^2 - 37z + 36 = 0 $$

Это квадратное уравнение относительно \( z \), и мы можем решить его через дискриминант. Находим корни:

$$ z_{1,2} = \frac{37 \pm \sqrt{37^2 - 4 \cdot 36}}{2} $$

Считаем дискриминант:

$$ D = 37^2 - 4 \cdot 36 = 1369 - 144 = 1225 $$

Корень из дискриминанта:

$$ \sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35 $$

Получаем корни уравнения:

$$ z_{1,2} = \frac{37 \pm 35}{2} $$

$$ z_1 = \frac{37 + 35}{2} = 36 $$ $$ z_2 = \frac{37 - 35}{2} = 1 $$

Теперь вернёмся к исходной переменной \( y \):

$$ y^2 = 36 \Rightarrow y = \pm 6 $$ $$ y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1 $$

И, соответственно, найдём \( x \) используя уравнение \( xy = 6 \):

Для \( y = 6 \): $$ x \cdot 6 = 6 \Rightarrow x = 1 $$

Для \( y = -6 \): $$ x \cdot (-6) = 6 \Rightarrow x = -1 $$

Для \( y = 1 \): $$ x \cdot 1 = 6 \Rightarrow x = 6 $$

Для \( y = -1 \): $$ x \cdot (-1) = 6 \Rightarrow x = -6 $$

Итак, мы получили четыре решения системы уравнений:

$$ (x; y) = (1; 6), (-1; -6), (6; 1), (-6; -1) $$

Вот и всё! Обязательно проверь каждую пару в исходной системе уравнений, чтобы убедиться, что они действительно подходят.