задача номер 20

Хорошо, давай посмотрим на задачу номер 20. Приведена система уравнений: $$ x^2 + y^2 = 37 $$ $$ xy = 6 $$ Нам нужно решить эту систему. Итак, давай заметим, что первое уравнение похоже на уравнение окружности с радиусом, являющимся квадратным корнем из 37, а второе уравнение — это уравнение гиперболы. Как тебе такая идея: используем подстановку и заменим ё один из x или y из второго уравнения в первое? Мы можем выразить \( x \) через \( y \) из второго уравнения: $$ x = \frac{6}{y} $$ Теперь подставим \( x \) в первое уравнение: $$ \left( \frac{6}{y} \right)^2 + y^2 = 37 $$ Теперь решим это уравнение по \( y \). Умножим обе части уравнения на \( y^2 \), чтобы избавиться от знаменателя: $$ 36 + y^4 = 37y^2 $$ Теперь приведём уравнение к квадратному, сделав замену \( z = y^2 \): $$ 36 + z^2 = 37z $$ Переносим все слагаемые в одну сторону: $$ z^2 - 37z + 36 = 0 $$ Это квадратное уравнение относительно \( z \), и мы можем решить его через дискриминант. Находим корни: $$ z_{1,2} = \frac{37 \pm \sqrt{37^2 - 4 \cdot 36}}{2} $$ Считаем дискриминант: $$ D = 37^2 - 4 \cdot 36 = 1369 - 144 = 1225 $$ Корень из дискриминанта: $$ \sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35 $$ Получаем корни уравнения: $$ z_{1,2} = \frac{37 \pm 35}{2} $$ $$ z_1 = \frac{37 + 35}{2} = 36 $$ $$ z_2 = \frac{37 - 35}{2} = 1 $$ Теперь вернёмся к исходной переменной \( y \): $$ y^2 = 36 \Rightarrow y = \pm 6 $$ $$ y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1 $$ И, соответственно, найдём \( x \) используя уравнение \( xy = 6 \): Для \( y = 6 \): $$ x \cdot 6 = 6 \Rightarrow x = 1 $$ Для \( y = -6 \): $$ x \cdot (-6) = 6 \Rightarrow x = -1 $$ Для \( y = 1 \): $$ x \cdot 1 = 6 \Rightarrow x = 6 $$ Для \( y = -1 \): $$ x \cdot (-1) = 6 \Rightarrow x = -6 $$ Итак, мы получили четыре решения системы уравнений: $$ (x; y) = (1; 6), (-1; -6), (6; 1), (-6; -1) $$ Вот и всё! Обязательно проверь каждую пару в исходной системе уравнений, чтобы убедиться, что они действительно подходят.