задача номер 20

Хорошо, давай посмотрим на задачу номер 20. Приведена система уравнений:

\[ x^2 + y^2 = 37 \] \[ xy = 6 \]

Нам нужно решить эту систему. Итак, давай заметим, что первое уравнение похоже на уравнение окружности с радиусом, являющимся квадратным корнем из 37, а второе уравнение — это уравнение гиперболы. Как тебе такая идея: используем подстановку и заменим ё один из x или y из второго уравнения в первое?

Мы можем выразить \( x \) через \( y \) из второго уравнения:

\[ x = \frac{6}{y} \]

Теперь подставим \( x \) в первое уравнение:

\[ \left( \frac{6}{y} \right)^2 + y^2 = 37 \]

Теперь решим это уравнение по \( y \). Умножим обе части уравнения на \( y^2 \), чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 36 + y^4 = 37y^2 \]

Теперь приведём уравнение к квадратному, сделав замену \( z = y^2 \):

\[ 36 + z^2 = 37z \]

Переносим все слагаемые в одну сторону:

\[ z^2 - 37z + 36 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( z \), и мы можем решить его через дискриминант. Находим корни:

\[ z_{1,2} = \frac{37 \pm \sqrt{37^2 - 4 \cdot 36}}{2} \]

Считаем дискриминант:

\[ D = 37^2 - 4 \cdot 36 = 1369 - 144 = 1225 \]

Корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35 \]

Получаем корни уравнения:

\[ z_{1,2} = \frac{37 \pm 35}{2} \] \[ z_1 = \frac{37 + 35}{2} = 36 \] \[ z_2 = \frac{37 - 35}{2} = 1 \]

Теперь вернёмся к исходной переменной \( y \):

\[ y^2 = 36 \Rightarrow y = \pm 6 \] \[ y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1 \]

И, соответственно, найдём \( x \) используя уравнение \( xy = 6 \):

Для \( y = 6 \):

\[ x \cdot 6 = 6 \Rightarrow x = 1 \]

Для \( y = -6 \):

\[ x \cdot (-6) = 6 \Rightarrow x = -1 \]

Для \( y = 1 \):

\[ x \cdot 1 = 6 \Rightarrow x = 6 \]

Для \( y = -1 \):

\[ x \cdot (-1) = 6 \Rightarrow x = -6 \]

Итак, мы получили четыре решения системы уравнений:

\[ (x; y) = (1; 6), (-1; -6), (6; 1), (-6; -1) \]

Вот и всё! Обязательно проверь каждую пару в исходной системе уравнений, чтобы убедиться, что они действительно подходят.