Исследовать сходимость числового ряда

Привет! Давай разберемся с этой задачей на сходимость числового ряда. На изображении у нас ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^2}\).

Один из способов исследования сходимости бесконечного ряда - это использование признака сравнения. Поскольку \(\ln(n)\) растет медленнее, чем \(n\), ряд похож на гармонический ряд с дополнительным замедляющим фактором \((\ln(n))^2\), который делает его убывающим быстрее, чем обычный гармонический ряд (т.е. \(\sum \frac{1}{n}\)), который расходится.

Итак, попробуем сравнить данный ряд с рядом \(\sum \frac{1}{n^{p}}\) для некоторого \(p > 1\), так как такой ряд сходится по интегральному признаку Коши (если \(p > 1\)). В данном случае можно предположить, что \(\ln(n)\) асимптотически ведет себя как полином некоторой степени, и так как \( (\ln(n))^2 \) растет медленнее, чем \( n \), мы получаем:

\[ \frac{1}{n (\ln(n))^2} < \frac{1}{n^\frac{3}{2}} \]

для достаточно больших \( n \), поскольку степень \(\frac{3}{2}\) больше \(1\), и поэтому \(\sum \frac{1}{n^\frac{3}{2}}\) сходится.

Так как мы нашли сходящийся ряд, который "больше" нашего исходного ряда начиная с некоторого номера \( n \), по признаку сравнения можно сказать, что исходный ряд сходится.

Теперь понятно как решить задачу? Если будут еще вопросы или нужна помощь - спрашивай!