Привет! Давай разберемся с этой задачей на сходимость числового ряда. На изображении у нас ряд (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^2}).
Один из способов исследования сходимости бесконечного ряда - это использование признака сравнения. Поскольку (\ln(n)) растет медленнее, чем (n), ряд похож на гармонический ряд с дополнительным замедляющим фактором ((\ln(n))^2), который делает его убывающим быстрее, чем обычный гармонический ряд (т.е. (\sum \frac{1}{n})), который расходится.
Итак, попробуем сравнить данный ряд с рядом (\sum \frac{1}{n^{p}}) для некоторого (p > 1), так как такой ряд сходится по интегральному признаку Коши (если (p > 1)). В данном случае можно предположить, что (\ln(n)) асимптотически ведет себя как полином некоторой степени, и так как ( (\ln(n))^2 ) растет медленнее, чем ( n ), мы получаем:
[ \frac{1}{n (\ln(n))^2} < \frac{1}{n^\frac{3}{2}} ]
для достаточно больших ( n ), поскольку степень (\frac{3}{2}) больше (1), и поэтому (\sum \frac{1}{n^\frac{3}{2}}) сходится.
Так как мы нашли сходящийся ряд, который "больше" нашего исходного ряда начиная с некоторого номера ( n ), по признаку сравнения можно сказать, что исходный ряд сходится.
Теперь понятно как решить задачу? Если будут еще вопросы или нужна помощь - спрашивай!
