Ребро SC тетраэдра SABC перпендикулярно плоскости основания. Найди длину вектора AS + AB, если | AS = 13, AB = 8√3.

Давай разберёмся вместе с этой задачкой. Нам нужно найти длину вектора \(\vec{AS} + \vec{AB}\). Так как ребро \(SC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), то и вектор \(\vec{AS}\) перпендикулярен вектору \(\vec{AB}\), так как оба они лежат в плоскости \(SAB\), причем \(\vec{AB}\) лежит в плоскости \(ABC\), а \(\vec{AS}\) перпендикулярен этой плоскости. В данном случае можно воспользоваться правилом сложения векторов и теоремой Пифагора, так как векторы \(\vec{AS}\) и \(\vec{AB}\) образуют прямоугольный треугольник. Если сложить перпендикулярные векторы, то их сумма будет диагональю прямоугольника, стороны которого равны длинам этих векторов. Значит, длина вектора \(\vec{AS} + \vec{AB}\) будет равна \(\sqrt{|\vec{AS}|^2 + |\vec{AB}|^2}\). Подставляем известные нам значения: \[ \sqrt{13^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{169 + 64 \cdot 3} = \sqrt{169 + 192} = \sqrt{361} = 19. \] Итак, длина вектора \(\vec{AS} + \vec{AB}\) равна 19.