Привет! Давай вместе решим эту задачу.
На картинке видим прямоугольный треугольник ABC. Нам надо найти его площадь. Мы знаем, что сторона AB = 52 и это гипотенуза. Высота BD, опущенная на гипотенузу, делит её на два отрезка: AD и DB. Также видно, что радиус вписанной окружности равен 8 (на картинке обозначен как "r" и равен высоте BD).
В прямоугольном треугольнике поведённая к гипотенузе высота имеет интересное свойство: она равна среднему геометричному двух отрезков, на которые делит гипотенузу высота, то есть высота BD в квадрате равна произведению AD и DC.
Также можно воспользоваться формулой площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и сумму катетов (полупериметра):
S = r * (a + b)/2
где S - площадь, r - радиус вписанной окружности, a и b - катеты треугольника.
У нас есть r, но нет катетов. Для начала найдём их через высоту BD и гипотенузу AB.
Пусть AD = x, тогда DC = AB - AD = 52 - x.
Теперь запишем свойство высоты:
BD^2 = AD * DC
8^2 = x * (52 - x)
Решив это квадратное уравнение, получим значения AD и DC.
Затем используем найденные AD и DC для расчёта площади:
S = r * (AD + DC)/2
Когда найдём искомые катеты, подставим их в формулу и получим ответ.
Так что начнём с решения квадратного уравнения:
64 = x * (52 - x)
64 = 52x - x^2
x^2 - 52x + 64 = 0
Решив квадратное уравнение, найдем x (катеты AD и DC), а затем найдем площадь S треугольника ABC.
