Привет! Давай вместе решим задачу номер 12 на картинке. Итак, посмотрим:
Условие задачи: ( x' \cdot y + 2y' = 0 )
В этом уравнении ( x' ) и ( y' ) означают производные ( x ) и ( y ) по некоторому параметру, скажем, по времени ( t ). Наша цель - найти такую зависимость ( y ) от ( x ), при которой выполняется данное уравнение.
Давай найдем решение данной задачи.
Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, нужно разделить переменные. Это значит, что мы должны переписать уравнение таким образом, чтобы все ( x ) и их производные оказались с одной стороны уравнения, а все ( y ) и их производные - с другой. Поскольку ( y' = \frac{dy}{dt} ) и ( x' = \frac{dx}{dt} ), можно переписать уравнение следующим образом:
( \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{y} = -2\frac{dx}{dt} )
Теперь можем проинтегрировать обе части уравнения:
( \int \frac{1}{y} , dy = -2 \int dx )
После интегрирования, получаем:
( \ln|y| = -2x + C )
где ( C ) — константа интегрирования.
Теперь, чтобы найти ( y ), возьмем экспоненту обоих частей уравнения:
( y = e^{-2x+C} )
Поскольку ( e^{C} ) тоже константа (допустим, ( K = e^{C} )), то окончательное решение будет иметь вид:
( y = K \cdot e^{-2x} )
Вот так, шаг за шагом, мы нашли общее решение дифференциального уравнения. Если бы были дополнительные начальные условия, можно было бы найти их конкретные значения ( K ). Надеюсь, это поможет тебе в учебе!
