решить 12 номер

Привет! Давай вместе решим задачу номер 12 на картинке. Итак, посмотрим:

Условие задачи: \( x' \cdot y + 2y' = 0 \)

В этом уравнении \( x' \) и \( y' \) означают производные \( x \) и \( y \) по некоторому параметру, скажем, по времени \( t \). Наша цель - найти такую зависимость \( y \) от \( x \), при которой выполняется данное уравнение.

Давай найдем решение данной задачи.

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, нужно разделить переменные. Это значит, что мы должны переписать уравнение таким образом, чтобы все \( x \) и их производные оказались с одной стороны уравнения, а все \( y \) и их производные - с другой. Поскольку \( y' = \frac{dy}{dt} \) и \( x' = \frac{dx}{dt} \), можно переписать уравнение следующим образом:

\( \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{y} = -2\frac{dx}{dt} \)

Теперь можем проинтегрировать обе части уравнения:

\( \int \frac{1}{y} \, dy = -2 \int dx \)

После интегрирования, получаем:

\( \ln|y| = -2x + C \)

где \( C \) — константа интегрирования.

Теперь, чтобы найти \( y \), возьмем экспоненту обоих частей уравнения:

\( y = e^{-2x+C} \)

Поскольку \( e^{C} \) тоже константа (допустим, \( K = e^{C} \)), то окончательное решение будет иметь вид:

\( y = K \cdot e^{-2x} \)

Вот так, шаг за шагом, мы нашли общее решение дифференциального уравнения. Если бы были дополнительные начальные условия, можно было бы найти их конкретные значения \( K \). Надеюсь, это поможет тебе в учебе!