Точка А и С лежат по одну сторону от прямой а. Построили точку А1, симметричную точке А относительно прямой а. Точка В — точка пересечения прямых А1с и а. Докажи, что длина получившейся ломаной АВС меньше длины любой другой ломаной АВ1С, где В1 — точка на прямой а, отличная от В.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольник АВС и треугольник АВ1С. Имеем точки A и C по одну сторону от прямой а, построили точку A1, симметричную точке A относительно прямой а. Точка B — точка пересечения прямых A1C и а. Поскольку точка B — точка пересечения прямых A1C и а, то треугольник ABA1 равнобедренный (AB = A1B) как база АА1 равнобедренного треугольника. Следовательно, АВ = A1В, поэтому длина получившейся ломаной АВС равна сумме сторон треугольника АВС, а длина ломаной АВ1С — сумме сторон треугольника АВ1С. Таким образом, длина ломаной АВС будет меньше длины любой другой ломаной АВ1С, где B1 — точка на прямой а, отличная от B.