Хорошо, давай посмотрим на задачу номер 6. Нам нужно найти значение выражения (\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(2\frac{1}{2}\right)^4). Для начала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
(2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{1} + \frac{1}{2} = \frac{4}{1} + \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1 \cdot 1}{2} = \frac{8 + 1}{2} = \frac{9}{2}).
Теперь поднимем его в четвертую степень:
(\left(\frac{9}{2}\right)^4 = \frac{9^4}{2^4} = \frac{6561}{16}).
Теперь подставим вычисленное значение в исходное выражение и возведем дробь (\frac{2}{3}) в квадрат:
(\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}).
Теперь перемножим две полученные дроби:
(\frac{4}{9} \cdot \frac{6561}{16} = \frac{4 \cdot 6561}{9 \cdot 16}).
Чтобы упростить эту дробь, сократим числа на их общие множители. Число 9 сократится с числом 6561, которое делится на 9 (6561 это 9 в степени 4), а 4 сократится с 16:
(\frac{4}{9} \cdot \frac{6561}{16} = \frac{1}{9/4} \cdot \frac{9^4}{16/4}).
Упрощаем выражение:
(\frac{1}{2} \cdot \frac{9^3}{4} = \frac{9^3}{8}).
Теперь вычисляем:
(9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729).
Таким образом, окончательное значение выражения равно:
(\frac{729}{8} = 91\frac{1}{8}).
Если что-то непонятно, спрашивай, помогу разобраться!
