2. Равносторонний треугольник вписан окружность. Радиус описанной окружности равен 5 см. Найти площадь треугольника.

Для нахождения площади равностороннего треугольника, вписанного в окружность, нужно использовать следующие свойства: 1. Радиус описанной окружности равен 5 см, следовательно, он равен и радиусу вписанной окружности этого треугольника. 2. Радиус вписанной окружности равен высоте этого треугольника, а также является медианой, биссектрисой и высотой трапеции, вписанной в окружность. 3. Площадь равностороннего треугольника можно рассчитать по формуле: \( S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \), где а - длина стороны треугольника. Так как радиус равностороннего треугольника равен радиусу описанной окружности, то длина стороны треугольника равна \( 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3} \) см. Теперь можем поставить все в формулу и найти площадь треугольника: \( S = \frac{{(10\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{300 \cdot \sqrt{3}}}{4} = 75\sqrt{3} \) кв.см. Таким образом, площадь данного равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиусом 5 см, равна \( 75\sqrt{3} \) квадратных сантиметров.