решите уравнение

Давайте вместе решим это уравнение:

Для начала упростим уравнение \(4\sin^2x - 4\cos x - 1 = 0\). Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2x + \cos^2x = 1\). Тогда \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\). Подставляем это в уравнение:

\(4(1 - \cos^2x) - 4\cos x - 1 = 0\)

Теперь раскроем скобки и преобразуем уравнение:

\(4 - 4\cos^2x - 4\cos x - 1 = 0\)

Приведем подобные и получим квадратное уравнение относительно \(\cos x\):

\(4\cos^2x + 4\cos x - 3 = 0\)

Разделим уравнение на 4, чтобы упростить коэффициенты:

\(\cos^2x + \cos x - \frac{3}{4} = 0\)

Пусть \(t = \cos x\), тогда мы получим уравнение:

\(t^2 + t - \frac{3}{4} = 0\)

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). В данном случае \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -\frac{3}{4}\), получаем:

\(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot -\frac{3}{4} = 1 + 3 = 4\)

Теперь найдем корни уравнения:

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-1 \pm 2}{2}\)

Отсюда получаем два возможных значения для \(t\):

\(t_1 = \frac{1}{2}\)

\(t_2 = -\frac{3}{2}\)

Однако, \(\cos x\) может принимать значения только от -1 до 1, значит \(t_2\) не подходит. Рассмотрим корень \(t_1 = \frac{1}{2}\):

\(\cos x = \frac{1}{2}\)

Теперь найдем \(x\). \(\cos x = \frac{1}{2}\) при \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Теперь найдем все корни, принадлежащие промежутку \([- \frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]\). На этом промежутке уравнение \(\cos x = \frac{1}{2}\) имеет корни \(x = -\frac{5\pi}{3}\) и \(x = -\frac{4\pi}{3}\) (так как \( \cos (- \frac{5\pi}{3}) = \cos (- \frac{4\pi}{3}) = \frac{1}{2}\) и оба эти значения входят в данный нами промежуток).

Таким образом, корни уравнения на заданном промежутке - это \(x = -\frac{5\pi}{3}\) и \(x = -\frac{4\pi}{3}\).