Давайте вместе решим это уравнение:
Для начала упростим уравнение (4\sin^2x - 4\cos x - 1 = 0). Используем основное тригонометрическое тождество (\sin^2x + \cos^2x = 1). Тогда (\sin^2x = 1 - \cos^2x). Подставляем это в уравнение:
(4(1 - \cos^2x) - 4\cos x - 1 = 0)
Теперь раскроем скобки и преобразуем уравнение:
(4 - 4\cos^2x - 4\cos x - 1 = 0)
Приведем подобные и получим квадратное уравнение относительно (\cos x):
(4\cos^2x + 4\cos x - 3 = 0)
Разделим уравнение на 4, чтобы упростить коэффициенты:
(\cos^2x + \cos x - \frac{3}{4} = 0)
Пусть (t = \cos x), тогда мы получим уравнение:
(t^2 + t - \frac{3}{4} = 0)
Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант. Дискриминант (D = b^2 - 4ac). В данном случае (a = 1), (b = 1), (c = -\frac{3}{4}), получаем:
(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot -\frac{3}{4} = 1 + 3 = 4)
Теперь найдем корни уравнения:
(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-1 \pm 2}{2})
Отсюда получаем два возможных значения для (t):
(t_1 = \frac{1}{2})
(t_2 = -\frac{3}{2})
Однако, (\cos x) может принимать значения только от -1 до 1, значит (t_2) не подходит. Рассмотрим корень (t_1 = \frac{1}{2}):
(\cos x = \frac{1}{2})
Теперь найдем (x). (\cos x = \frac{1}{2}) при (x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k), где (k) - целое число.
Теперь найдем все корни, принадлежащие промежутку ([- \frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]). На этом промежутке уравнение (\cos x = \frac{1}{2}) имеет корни (x = -\frac{5\pi}{3}) и (x = -\frac{4\pi}{3}) (так как ( \cos (- \frac{5\pi}{3}) = \cos (- \frac{4\pi}{3}) = \frac{1}{2}) и оба эти значения входят в данный нами промежуток).
Таким образом, корни уравнения на заданном промежутке - это (x = -\frac{5\pi}{3}) и (x = -\frac{4\pi}{3}).
