Сколько целых решений имеет неравенства 1<7 в степени х-1<49?
Для того чтобы найти количество целых решений неравенства \( 1 < 7^{x-1} < 49 \), нужно разбить его на два неравенства:
\( 1 < 7^{x-1} \) - это означает, что значение выражения \( 7^{x-1} \) должно быть больше 1.
\( 7^{x-1} < 49 \) - здесь требуется, чтобы значение выражения \( 7^{x-1} \) было меньше 49.
Теперь рассмотрим каждое из неравенств отдельно.
- \( 1 < 7^{x-1} \)
Преобразуем неравенство: \( 1 < 7^{x-1} \) равнозначно \( 7^{x-1} > 1 \). Чтобы это было верно, \( x-1 \) должен быть больше 0, так как любое положительное число возводимое в степень больше 0, будет больше 1. Это означает, что \( x > 1 \).
- \( 7^{x-1} < 49 \)
Также преобразуем неравенство: \( 7^{x-1} < 49 \). Здесь необходимо найти такое значение \( x \), чтобы \( 7^{x-1} \) было меньше 49. Это достигается, когда \( x-1 < 2 \), так как \( 7^2 = 49 \). Следовательно, \( x < 3 \).
Итак, чтобы решить исходное неравенство, необходимо учитывать оба условия: \( x > 1 \) и \( x < 3 \). Подходят значения для \( x \): 2, так как он больше 1 и меньше 3.
Таким образом, исходное неравенство имеет одно целое решение: \( x = 2 \).
