Хорошо, давай решим задачу 1.1.117 из твоего учебника.
Задача выглядит так:
[
\lim_{{n \to \infty }} \frac{2n + 1}{\sqrt{n(n + 2)}}
]
Это задача на нахождение предела функции, когда ( n ) стремится к бесконечности.
Для решения этой задачи используем правило, что если в числителе и знаменателе дроби есть выражения с переменной, стремящейся к бесконечности, и эти выражения – многочлены или радикалы (корни), можно деление на бесконечность свести к делению наибольших по степени членов в числителе и знаменателе.
В данном случае наибольшей степенью в числителе будет ( n ), а в знаменателе – корень второй степени из ( n^2 ), то есть тоже ( n ). Для того чтобы сделать вид привычнее, можно вынести ( n ) как наибольшую степень из-под знаменателя:
[
\frac{2n + 1}{\sqrt{n^2} \sqrt{1 + \frac{2}{n}}}
]
Теперь можем упростить полученное выражение, разделив числитель и знаменатель на ( n ):
[
\frac{2 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}}}
]
Когда ( n ) стремится к бесконечности, (\frac{1}{n}) и (\frac{2}{n}) стремятся к нулю. Тогда предел примет вид:
[
\frac{2 + 0}{\sqrt{1 + 0}} = \frac{2}{1} = 2
]
Таким образом, предел данной функции равен 2.
Итак, ответ: предел равен 2.
