реши мне 1.1.117

Хорошо, давай решим задачу 1.1.117 из твоего учебника.

Задача выглядит так:

\[ \lim_{{n \to \infty }} \frac{2n + 1}{\sqrt{n(n + 2)}} \]

Это задача на нахождение предела функции, когда \( n \) стремится к бесконечности.

Для решения этой задачи используем правило, что если в числителе и знаменателе дроби есть выражения с переменной, стремящейся к бесконечности, и эти выражения – многочлены или радикалы (корни), можно деление на бесконечность свести к делению наибольших по степени членов в числителе и знаменателе.

В данном случае наибольшей степенью в числителе будет \( n \), а в знаменателе – корень второй степени из \( n^2 \), то есть тоже \( n \). Для того чтобы сделать вид привычнее, можно вынести \( n \) как наибольшую степень из-под знаменателя:

\[ \frac{2n + 1}{\sqrt{n^2} \sqrt{1 + \frac{2}{n}}} \]

Теперь можем упростить полученное выражение, разделив числитель и знаменатель на \( n \):

\[ \frac{2 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}}} \]

Когда \( n \) стремится к бесконечности, \(\frac{1}{n}\) и \(\frac{2}{n}\) стремятся к нулю. Тогда предел примет вид:

\[ \frac{2 + 0}{\sqrt{1 + 0}} = \frac{2}{1} = 2 \]

Таким образом, предел данной функции равен 2.

Итак, ответ: предел равен 2.