В треугольник АВС вписанна окружность. Точка касания окружности дели гипотенузу АВ на 3 см. и 10 см. Периметр треугольника = 30 см. Найдите радиус окружности.

Введем обозначения: пусть \(r\) - радиус вписанной окружности, \(x\) и \(y\) - отрезки гипотенузы \(AB\), на которые она делится точкой касания. Также, обозначим отрезки касательных из точек касания до вершин треугольника \(AC\) и \(BC\) как \(p\) и \(q\) соответственно. Так как точка касания делит гипотенузу на отрезки длин \(x\) и \(y\), мы имеем \(x + y = AB\). По теореме о касательных, \(p = q = r\), где \(p\) и \(q\) - сегменты касательных, проведенных из точки касания до вершин. Таким образом, получаем систему уравнений: \[x + y = 13\) (11 см. + 10 см.) \[x + y + 2r = 30\) (периметр треугольника) Подставим первое уравнение во второе: \[13 + 2r = 30\) \[2r = 17\) \[r = 8.5\) см. Итак, радиус вписанной окружности равен 8.5 см.