Давай решим данные уравнения пошагово.
а) ( \sqrt{2} \cos x - 1 = 0 )
Добавим 1 к обеим частям уравнения:
( \sqrt{2} \cos x = 1 )
Теперь делим обе части уравнения на ( \sqrt{2} ):
( \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} )
Осталось найти ( x ). Решение этого уравнения — это углы, чей косинус равен ( \frac{1}{\sqrt{2}} ). Это углы ( \frac{\pi}{4} + 2\pi k ) и ( -\frac{\pi}{4} + 2\pi k ) где ( k ) — целое число.
б) ( 3\tan 2x + \sqrt{3} = 0 )
Давай сначала перенесем ( \sqrt{3} ) в правую часть уравнения:
( 3\tan 2x = -\sqrt{3} )
Теперь разделим обе части на 3:
( \tan 2x = -\frac{\sqrt{3}}{3} )
Это уравнение говорит нам, что тангенс угла в два раза больше ( x ) равен ( -\frac{\sqrt{3}}{3} ). Решением будет угол ( -\frac{\pi}{6} + \pi k ), откуда ( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} ).
в) ( 3\cos x - \cos^2 x = 0 )
Это квадратное уравнение относительно ( \cos x ). Преобразуем его в стандартный вид:
( \cos^2 x - 3\cos x = 0 )
Теперь вынесем за скобки ( \cos x ):
( \cos x(\cos x - 3) = 0 )
Получаем два корня:
( \cos x = 0 )
( \cos x - 3 = 0 )
Первое уравнение имеет решение ( x = \frac{\pi}{2} + \pi k ), второе уравнение решений не имеет, так как косинус не может быть больше 1.
г) ( \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} ) на отрезке ( [0;4\pi] )
Решение этого уравнения — углы, чей косинус равен ( \frac{1}{2} ). Углы, удовлетворяющие этому условию, это ( \frac{\pi}{3} ) и ( \frac{5\pi}{3} ). Но так как у нас в уравнении ( \frac{x}{2} ), нам нужно эти углы умножить на 2, получаем ( \frac{2\pi}{3} ) и ( \frac{10\pi}{3} ). Оба эти значения удовлетворяют условию задачи, так как они лежат в интервале от 0 до ( 4\pi ).
Вот и все решения. Если что-то не понятно, спрашивай, обсудим!
