Реши уравнения

Давай решим данные уравнения пошагово.

а) \( \sqrt{2} \cos x - 1 = 0 \)

Добавим 1 к обеим частям уравнения: \( \sqrt{2} \cos x = 1 \)

Теперь делим обе части уравнения на \( \sqrt{2} \): \( \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Осталось найти \( x \). Решение этого уравнения — это углы, чей косинус равен \( \frac{1}{\sqrt{2}} \). Это углы \( \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) и \( -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \) где \( k \) — целое число.

б) \( 3\tan 2x + \sqrt{3} = 0 \)

Давай сначала перенесем \( \sqrt{3} \) в правую часть уравнения: \( 3\tan 2x = -\sqrt{3} \)

Теперь разделим обе части на 3: \( \tan 2x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \)

Это уравнение говорит нам, что тангенс угла в два раза больше \( x \) равен \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \). Решением будет угол \( -\frac{\pi}{6} + \pi k \), откуда \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \).

в) \( 3\cos x - \cos^2 x = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Преобразуем его в стандартный вид: \( \cos^2 x - 3\cos x = 0 \)

Теперь вынесем за скобки \( \cos x \): \( \cos x(\cos x - 3) = 0 \)

Получаем два корня: \( \cos x = 0 \) \( \cos x - 3 = 0 \)

Первое уравнение имеет решение \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), второе уравнение решений не имеет, так как косинус не может быть больше 1.

г) \( \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \) на отрезке \( [0;4\pi] \)

Решение этого уравнения — углы, чей косинус равен \( \frac{1}{2} \). Углы, удовлетворяющие этому условию, это \( \frac{\pi}{3} \) и \( \frac{5\pi}{3} \). Но так как у нас в уравнении \( \frac{x}{2} \), нам нужно эти углы умножить на 2, получаем \( \frac{2\pi}{3} \) и \( \frac{10\pi}{3} \). Оба эти значения удовлетворяют условию задачи, так как они лежат в интервале от 0 до \( 4\pi \).

Вот и все решения. Если что-то не понятно, спрашивай, обсудим!