Хорошо, давай решим эти неравенства через дискриминант.
а) ( x^2 + x + 2 > 0 )
Для начала найдем дискриминант (D) квадратного уравнения ( x^2 + x + 2 = 0 ).
D = ( b^2 - 4ac ), где a = 1, b = 1, c = 2.
D = ( 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 ) = 1 - 8 = -7.
Дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней и график параболы не пересекает ось x. Так как a (коэффициент при ( x^2 )) положительный, парабола направлена вверх, и значит значение ( y = x^2 + x + 2 ) всегда будет положительным для всех x. Следовательно, неравенство ( x^2 + x + 2 > 0 ) верно для всех x.
б) ( x^2 + 4x + 7 \leq 0 )
Теперь рассмотрим это неравенство. Найдем дискриминант для уравнения ( x^2 + 4x + 7 = 0 ).
D = ( b^2 - 4ac ), где a = 1, b = 4, c = 7.
D = ( 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 ) = 16 - 28 = -12.
Дискриминант также отрицательный, следовательно, уравнение не имеет действительных корней, и график параболы ( y = x^2 + 4x + 7 ) не пересекает ось x. Коэффициент при ( x^2 ) положителен — парабола направлена вверх, и значит значение ( y = x^2 + 4x + 7 ) всегда будет положительным для всех x. Следовательно, неравенство ( x^2 + 4x + 7 \leq 0 ) не имеет решений, так как нет таких x, при которых данное выражение могло бы быть неположительным.
