Хорошо, давай начнем шаг за шагом.
Сначала нам нужно найти значение синуса угла ( \alpha ), зная, что косинус этого угла равен ( \frac{7}{9} ). Так как ( \alpha ) принадлежит первой четверти, его синус также будет положительным. Используем основное тригонометрическое тождество:
[ \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 ]
Подставляем значение косинуса:
[ \sin^2{\alpha} + \left(\frac{7}{9}\right)^2 = 1 ]
[ \sin^2{\alpha} + \frac{49}{81} = 1 ]
[ \sin^2{\alpha} = 1 - \frac{49}{81} ]
[ \sin^2{\alpha} = \frac{81}{81} - \frac{49}{81} ]
[ \sin^2{\alpha} = \frac{32}{81} ]
Теперь возьмем квадратный корень из обеих частей (и помним, что синус положителен, так как угол находится в первой четверти):
[ \sin{\alpha} = \frac{\sqrt{32}}{9} ]
[ \sin{\alpha} = \frac{4\sqrt{2}}{9} ]
Теперь найдем значения ( \cos{\frac{\alpha}{2}} ) и ( \sin{\frac{\alpha}{2}} ). Для начала найдем ( \cos{\frac{\alpha}{2}} ) через уже известный косинус ( \alpha ):
[ \cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos{\alpha}}{2}} ]
[ \cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{7}{9}}{2}} ]
[ \cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{16}{9}}{2}} ]
[ \cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{16}{18}} ]
[ \cos{\frac{\alpha}{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} ]
[ \cos{\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} ]
Теперь найдем ( \sin{\frac{\alpha}{2}} ):
[ \sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \cos{\alpha}}{2}} ]
[ \sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{7}{9}}{2}} ]
[ \sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{9}}{2}} ]
[ \sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{2}{18}} ]
[ \sin{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} ]
[ \sin{\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6} ]
Итак, у нас есть:
[ \sin{\alpha} = \frac{4\sqrt{2}}{9} ]
[ \cos{\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} ]
[ \sin{\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6} ]
Надеюсь, это поможет!
