Обьясни подробно как решить задачу
Привет! Давай посмотрим на твоё уравнение и разберемся, как его решить.
У тебя есть уравнение вида:
\[ \frac{2\sin^2{x} - 3\sin{x} + 1}{\tg{x}} = 0 \]
Начнем с того, что уравнение равно нулю, поэтому числитель дроби должен быть равен нулю (так как если тангенс не равен нулю, то чтобы дробь была равной нулю, числитель должен быть равен нулю), а знаменатель не должен быть равен нулю (так как тангенс не должен быть равен нулю, иначе возникнет деление на ноль).
Сначала решаем числитель как квадратное уравнение относительно \(\sin{x}\):
\[ 2\sin^2{x} - 3\sin{x} + 1 = 0 \]
Для этого можем найти его корни через дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1 \]
Корни квадратного уравнения находим по формуле:
\[ \sin{x} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ \sin{x}_{1} = \frac{3 + \sqrt{1}}{4} = 1 \] \[ \sin{x}_{2} = \frac{3 - \sqrt{1}}{4} = \frac{1}{2} \]
Таким образом, мы имеем два значения синуса:
- \(\sin{x} = 1\) - это значит \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.
- \(\sin{x} = \frac{1}{2}\) - по единичной окружности это значит \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.
Однако нам нужны значения, лежащие в интервале \([-\pi; -\frac{\pi}{2}]\). Подставляем в эти значения \(k\), чтобы найти соответствующие корни:
- Для \(\sin{x} = 1\), в данном интервале нет решений.
- Для \(\sin{x} = \frac{1}{2}\):
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] не подходит, так как не входит в данный интервал. \[ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \], здесь мы можем подобрать \(k = -1\), это даст нам: \[ x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} \]что тоже выходит за рамки нашего интервала.
Следовательно, в интервале \([-\pi; -\frac{\pi}{2}]\) нет корней.
