Н

Привет! Давай вместе решим это неравенство шаг за шагом.

У нас есть неравенство \(\sqrt{x + 2} \leq |x - 1| - 3\).

1. Начнем с области определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x + 2 \geq 0\), отсюда \(x \geq -2\).

2. Учитывая модуль, рассмотрим два случая: когда \(x - 1 \geq 0\) (т.е. \(x \geq 1\)) и когда \(x - 1 < 0\) (т.е. \(x < 1\)).

Случай 1: \(x \geq 1\)

\(x - 1\) неотрицательно, поэтому модуль можно снять без изменения знака: \(|x - 1| = x - 1\).

Получаем неравенство:

\(\sqrt{x + 2} \leq x - 1 - 3\)

\(\sqrt{x + 2} \leq x - 4\)

Теперь возведем обе части в квадрат, но перед этим убедимся, что \(x - 4 \geq 0\), потому что квадратный корень всегда неотрицателен:

\(x - 4 \geq 0\)

\(x \geq 4\)

Условие \(x \geq 4\) вместе с \(x \geq 1\) дают \(x \geq 4\). Теперь возведем в квадрат:

\(x + 2 \leq (x - 4)^2\)

\(x + 2 \leq x^2 - 8x + 16\)

\(0 \leq x^2 - 9x + 14\)

Теперь решим квадратное неравенство. Корни уравнения \(x^2 - 9x + 14 = 0\) — это \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 7\).

Изобразим на числовой прямой и определим знаки интервалов.

На интервале \([4; 7]\) неравенство выполняется (проверьте подстановкой, например, \(x = 5\)).

Случай 2: \(x < 1\)

\(x - 1\) отрицательно, поэтому модуль меняет знак: \(|x - 1| = -(x - 1)\).

\(\sqrt{x + 2} \leq -(x - 1) - 3\)

\(\sqrt{x + 2} \leq -x + 1 - 3\)

\(\sqrt{x + 2} \leq -x - 2\)

Это неравенство никогда не будет истинным, так как левая часть — неотрицательна, а правая часть — отрицательна. Следовательно, из этого случая решений нет.

Итак, окончательное решение:

Объединим результаты двух случаев. Поскольку во втором случае решений нет, ответом будет интервал из первого случая:

\(x \in [4; 7]\)

Надеюсь, это помогло! Если что-то непонятно — пиши, разберемся вместе.