Привет! Давай вместе решим это неравенство шаг за шагом.
У нас есть неравенство (\sqrt{x + 2} \leq |x - 1| - 3).
Начнем с области определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: (x + 2 \geq 0), отсюда (x \geq -2).
Учитывая модуль, рассмотрим два случая: когда (x - 1 \geq 0) (т.е. (x \geq 1)) и когда (x - 1 < 0) (т.е. (x < 1)).
Случай 1: (x \geq 1)
(x - 1) неотрицательно, поэтому модуль можно снять без изменения знака: (|x - 1| = x - 1).
Получаем неравенство:
(\sqrt{x + 2} \leq x - 1 - 3)
(\sqrt{x + 2} \leq x - 4)
Теперь возведем обе части в квадрат, но перед этим убедимся, что (x - 4 \geq 0), потому что квадратный корень всегда неотрицателен:
(x - 4 \geq 0)
(x \geq 4)
Условие (x \geq 4) вместе с (x \geq 1) дают (x \geq 4). Теперь возведем в квадрат:
(x + 2 \leq (x - 4)^2)
(x + 2 \leq x^2 - 8x + 16)
(0 \leq x^2 - 9x + 14)
Теперь решим квадратное неравенство. Корни уравнения (x^2 - 9x + 14 = 0) — это (x_1 = 2) и (x_2 = 7).
Изобразим на числовой прямой и определим знаки интервалов.
На интервале ([4; 7]) неравенство выполняется (проверьте подстановкой, например, (x = 5)).
Случай 2: (x < 1)
(x - 1) отрицательно, поэтому модуль меняет знак: (|x - 1| = -(x - 1)).
(\sqrt{x + 2} \leq -(x - 1) - 3)
(\sqrt{x + 2} \leq -x + 1 - 3)
(\sqrt{x + 2} \leq -x - 2)
Это неравенство никогда не будет истинным, так как левая часть — неотрицательна, а правая часть — отрицательна. Следовательно, из этого случая решений нет.
Итак, окончательное решение:
Объединим результаты двух случаев. Поскольку во втором случае решений нет, ответом будет интервал из первого случая:
(x \in [4; 7])
Надеюсь, это помогло! Если что-то непонятно — пиши, разберемся вместе.
