Дано: BAC : АВС : ACB = 4:5:6, точка О — центр окружности, вписанной в АВС, М, Р, К — точки касания вписанной окружности со сторонами АВС. Найти: MOP, MOK, POK.

Для решения данной задачи по геометрии, мы можем воспользоваться соотношениями между отрезками, которые делят стороны треугольника. По условию задачи, BAC : АВС : ACB = 4:5:6, что соответствует отношениям длин сторон треугольника. Так как точка O — центр вписанной окружности в треугольник ABC, то можно сказать, что отрезки MO, PO и KO являются радиусами этой окружности. Чтобы найти отношения длин этих отрезков, мы можем воспользоваться теоремой секущих и касательных. В частности, мы видим, что отрезки МО, ОК и РО делят треугольник по правилу трем треугольникам, их углами и аналогичными сторонами. Далее, исходя из того, что сумма длин радиусов треугольника равна полупериметру треугольника ABC, мы можем выразить соотношения длин отрезков МО, ОК и РО друг к другу. После того как вы найдете соотношения этих отрезков, вы сможете определить требуемые углы треугольников МОР, МОК и POK, используя геометрические свойства треугольников. Таким образом, следуя этим шагам и применяя соответствующие формулы, вы сможете найти значения углов MOP, MOK и POK в треугольнике ABC.