Точки F, M, K - середины сторон AD, AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если FM = 6v3, KF = 10, а ZMFK = 120°.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойством треугольника, в котором медиана равна половине соответствующей стороны. Известно, что FM - середина стороны AD, а также из треугольника FDK следует, что треугольник FDK - равносторонний. Таким образом, FK = KD = 10. Зная это, мы можем заметить, что треугольник FKC - также равносторонний, поэтому FC = KC = 10. Также, из равных сторон треугольников FKC и FKM следует, что угол FKC = углу FMK = 60°. Далее, поскольку угол ZMFK = 120° и угол FMK = 60°, мы можем найти угол ZMK = 180° - 120° - 60° = 0°. Таким образом, треугольник ZMK является прямоугольным треугольником с прямым углом в точке M. Поскольку FK = KD = 10, то ZM = 10. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ZMK, где ZM = 10 и угол Z = 90°. Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти сторону ZK: (ZK)^2 = (ZM)^2 + (KM)^2 ZK = √(10^2 + 6√3^2) ZK = √(100 + 108) ZK = √208 ZK = 4√13 Таким образом, сторона ZK равна 4√13. Поскольку ZM = 10 и ZK = 4√13, площадь четырехугольника ABCD равна S = FK * KM = 10 * 4√13 = 40√13.