.

Хорошо, давай разберемся с этой задачей по шагам. Итак, нам известно, что туристы прокатились на катере по Амазонке, причем путь от одной пристани до другой они прошли за \( 6\frac{1}{3} \) часа, включая 20-минутную стоянку. Скорость катера в стоячей воде - 12 км/ч, и надо найти скорость течения реки.

Сначала преобразуем время стоянки в часы, потому что скорость катера дана в км/ч. У тебя есть 20 минут, что равно \( \frac{20}{60} \) часа, или \( \frac{1}{3} \) часа.

Теперь вычтем время стоянки из общего времени поездки, чтобы узнать, сколько времени катер был в движении. Время в пути: \( 6\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 6 \) часов.

Теперь, поскольку скорость катера в стоячей воде 12 км/ч, он мог бы преодолеть: \( 12 \text{ км/ч} \times 6 \text{ часов} = 72 \text{ км} \) на стоячей воде за это время.

Однако нам известно, что общее растояние туда и обратно равно 32 км. Так как река течет в одном направлении, катер плыл с течением, когда ехал от первой пристани, и против течения, когда возвращался. Поэтому скорость катера по течению реки была больше, а против течения меньше.

Пусть x - это скорость течения реки. Тогда:

• По течению скорость катера будет \( 12 + x \) км/ч.
• Против течения скорость катера будет \( 12 - x \) км/ч.

Поскольку расстояние в оба конца одинаковое, то время, за которое катер проплывет это расстояние по течению, пусть будет t часов, тогда против течения он проплывет это же расстояние за \( 6 - t \) часов.

Теперь составим уравнение, используя то, что расстояние туда и обратно одинаково: \( (12 + x) \cdot t = (12 - x) \cdot (6 - t) \) и учитываем, что обе части уравнения равны половине общего пути (поскольку общий путь 32 км, то половина будет 16 км).

Так что получаем: \( 16 = (12 + x) \cdot t \) \( 16 = (12 - x) \cdot (6 - t) \)

Теперь можем решать это систему уравнений. Из первого уравнения найдем \( t \): \( t = \frac{16}{12 + x} \)

Подставим \( t \) во второе уравнение и решим относительно x: \( 16 = (12 - x) \cdot (6 - \frac{16}{12 + x}) \)

Теперь давай найдем x. Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду: \( 16 = 72 - 12x - \frac{16 \cdot 6}{12 + x} + \frac{16x}{12 + x} \)

Чтобы избежать дробей, умножим обе стороны на \( (12 + x) \): \( 16(12 + x) = 72(12 + x) - 12x(12 + x) - 16 \cdot 6 + 16x \)

Теперь сократим \( 12x \) и \( 16x \) и раскроем скобки: \( 192 + 16x = 864 - 144x - 12x^2 - 96 + 16x \)

Перенесем члены с x в правую сторону: \( 12x^2 + 144x + 864 - 192 + 96 = 0 \)

Получим квадратное уравнение: \( 12x^2 + 144x - 768 = 0 \)

Разделим все члены уравнения на 12, чтобы упростить его: \( x^2 + 12x - 64 = 0 \)

Теперь решим уравнение через дискриминант, который равен: \( D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) \) \( D = 144 + 256 \) \( D = 400 \)

Так что \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 12 \), и мы уже нашли \( D = 400 \).

\( x = \frac{-12 \pm \sqrt{400}}{2} \) \( x = \frac{-12 \pm 20}{2} \)

Это дает нам два корня, один из которых будет отрицательным (что не подходит, так как скорость течения не может быть отрицательной), и один положительный. \( x = \frac{8}{2} \) \( x = 4 \)

Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Надеюсь, это объяснение поможет тебе понять, как решать подобные задачи. Если что-то непонятно, спрашивай!