1. Через точку D к окружности с центром О проведены касательные DA и DB (А и В - точки касания). Прямая DO пересекает окружность в точке С такой, что точка О лежит между точками D и С. Известно, что DO = 20С. Докажите, что четырёхугольник DACB - ромб. 2. Точки К, D и Е - середины сторон АВ, ВС и АС треугольника AВC соответственно. Известно, что KD = BE и угол ВСА равен 20°. Найдите неизвестные углы треугольника АВС. 3. Точки F, К, М и Е - соответственно середины сторон AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD. Известно, что периметр четырёхугольника FKME равен 80 см, FM L KE. Найдите диагонали АC и BD четырёх- угольника ABCD. 4. Средняя линия равнобокой трапеции ABCD (BC | AD) равна 16 см. Диагональ AC образует с основанием AD угол 45°. Найдите высоту трапеции. 5. Прямая BD - касательная к описанной окружности треугольника АВС. Прямая, параллельная этой касательной, пересекает стороны АВ и ВС в точках N и К соответственно. Известно, что углы ВАС и ВСА равны соответственно 20° и 75°. Найдите углы треугольника NBK. 6. В четырёхугольнике ABCD известно, что угол DAB = 82°, угол BCD = 98°, угол ADB = 46°, угол CDB = 37°. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противолежащий стороне CD. 7. Точки М и N - середины сторон АС и ВС треугольника АВС соответственно. Прямая MN является касательной к вписанной окружности треугольника АВС. Найдите периметр треугольника CMN, если AВ = 16 см. 8. Параллельные прямые а и b пересекают стороны угла AOF (рис. 38). Найдите отрезок DE, если BC = 3 см, OD = 12 см и CO = DE. 9. Диагонали AС и BD трапеции ABCD (BC || AD) пересекают среднюю линию трапеции в точках N и К соответственно. Известно, что BC = 8 см, AD = 18 см. Найдите отрезок NK. 10. Медианы АE и CF треугольника ABC перпендикулярны. Найдите медиану ВК, если АС = 8 см. 11. В треугольнике АВС известно, что АВ = 11 см, ВС = 12 см, АС = 13 см. В каком отношении цен окружности, вписанной в треугольник, делит его биссектрису AE? 12. Основания AD и BC трапеции ABCD равны 9 см и 6 см соответственно. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции пересекаются в точке О. Известно, что ОВ - АВ = 2 см. Найдите сторону АВ трапеции. 13. В треугольник ABC вписан ромб BDEF так, что угол В у них общий, а вершина Е принадлежит стороне АС. Найдите сторону ромба, если АВ = 12 см, ВС = 6 см. 14. На рисунке 39 угол BAC = угол CBD. Известно, что BC = 8 см, CD = 5 см. Найдите отрезок AC. 15. К окружности через точку D проведены касательная DA (А - точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках В и С (точка В лежит между точками D и C). Найдите отрезок DB, если AD = 18 см и DB : BC = 9 : 16. 16. Окружность, построенная на стороне АС треугольника АВС как на диаметре, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и D соответственно. Точка F - середина стороны АС. Известно, что радиус окружности, описанной около треугольника KFD, равен 3 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС. 17. Отрезок AN - высота остроугольного треугольника АВС. Точки Р и О - середина стороны ВС и центр описанной окружности треугольника АВС соответственно. Известно, что AN = 3ОР, AO = 16 см, угол NAO = 30°. Найдите отрезок NP. 18. Подобны ли треугольники ABC и ADC, изображённые на рисунке 40 (длины отрезков даны в сантиметрах)? 19. Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность, пересекающая стороны АС и ВС в точках D и F Рис. 40 соответственно. Известно, что AC = 20 см, CF = 5 см, DF = 4 см. Найдите отрезок AВ. 20. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 21 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 40 см. Найдите гипотенузу. 21. Дан отрезок длиной 1 см. Постройте отрезок длиной корень из 7 см. 22. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 45 см и 60 см. Найдите периметр треугольника. 23. В треугольнике АВС известно, что АВ = 25 см, ВС = 17 см, а высота ВН равна 15 см. Найдите сторону АС треугольника. 24. В равнобедренном треугольнике АBC (АВ = ВC) известно, что высота ВН равна 8 см, угол C = 36°. Найдите боковую сторону и основание треугольника. 25. В прямоугольном треугольнике AВC (рис. 41) угол C = 90°, AB = с, угол CBK = 0, угол ABK = B. Найдите отрезок AC.