Через точку D к окружности с центром О проведены касательные DA и DB (А и В - точки касания). Прямая DO пересекает окружность в точке С такой, что точка О лежит между точками D и С. Известно, что DO = 20С. Докажите, что четырёхугольник DACB - ромб.

Чтобы доказать, что четырёхугольник DACB - ромб, давайте рассмотрим его стороны. Сначала заметим, что по свойству касательных, угол между касательной и радиусом окружности является прямым углом. Таким образом, угол AOD и угол BOD равны 90 градусов каждый. Также, по условию DO = 2OC, и так как OC - радиус окружности, то OC равен половине DO. Получается, что треугольник OCD является прямоугольным треугольником, причем угол OCD равен 30 градусам, так как OC это половина радиуса, а тангенс 30 градусов равен 1/√3. Теперь рассмотрим треугольник ODA. В нем угол ODA равен 90 градусов (так как OA - касательная), и угол AOD также равен 90 градусов. Из этого следует, что угол DAO равен 0 градусов, то есть отрезок DA является вертикальным. Таким образом, стороны ромба DACB равны друг другу: DA = AD = OC и DB = OD = OC, что означает, что четырёхугольник DACB является ромбом. Мы успешно доказали, что четырёхугольник DACB - ромб.