Привет! Давай попробуем вместе разобраться с этой задачей. Нам нужно решить однородное тригонометрическое уравнение:
[ \cos^2 x - 5 \sin x \cos x - 24 \sin^2 x = 0 ]
Чтобы решить это уравнение, давай использовать тригонометрическое тождество (\sin^2 x + \cos^2 x = 1), чтобы выразить (\sin^2 x) через (\cos^2 x). Получим:
[ \cos^2 x - 5 \sin x \cos x - 24(1 - \cos^2 x) = 0 ]
Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
[ \cos^2 x - 5 \sin x \cos x - 24 + 24 \cos^2 x = 0 ]
[ 25 \cos^2 x - 5 \sin x \cos x - 24 = 0 ]
Теперь заметим, что это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно (\cos x), где (\sin x) выступает как параметр. Давай разделим обе части уравнения на 5, чтобы упростить коэффициенты:
[ 5 \cos^2 x - \sin x \cos x - 4.8 = 0 ]
И теперь сделаем замену (\cos x = t), тогда (\sin x = \sqrt{1 - t^2}) и подставим в уравнение:
[ 5t^2 - \sqrt{1 - t^2} \cdot t - 4.8 = 0 ]
Теперь решим это уравнение для (t), получив корни. Затем вернемся к переменной (x) с помощью обратной тригонометрической функции, учитывая область значений (t) для косинуса и (x) для арккосинуса и арксинуса.
Остается только проверить, какие из вариантов ответов соответствуют найденным значениям (t). Дай знать, если тебе нужна дополнительная помощь с конкретными шагами или проверкой ответов!
