дай ответ по снимку
На снимке уравнение: \(2 \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sqrt{2} \cdot \tan(x)\).
Чтобы решить это уравнение, начнём с тождественных преобразований. Используем формулу синуса двойного аргумента, зная, что \(\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)\) и \(\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)\), и формулы преобразования тангенса:
\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).
Таким образом, уравнение примет вид:
\(2 \sin(x) = \sqrt{2} \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).
Теперь нам нужно рассмотреть два случая:
\(\sin(x) = 0\) - в этом случае решением будет \(x = k\pi\), где \(k\) целое число. Однако, поскольку значение косинуса в этих точках равно 0, получаемые решения не удовлетворяют исходному уравнению.
Если \(\sin(x) \neq 0\), то уравнение можно сократить на \(\sin(x)\), и оно превратится в:
\(2 = \sqrt{2} \frac{1}{\cos(x)}\).
Отсюда:
\(\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\).
Таким образом, решениями будут:
\(x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.
Теперь согласно условию нам нужно найти сумму корней, принадлежащих отрезку \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\), и деленным на \(\pi\).
Посмотрим, какие корни из найденных попадают в данный промежуток. Например, для \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), корнями будут:
- При \(n = 0\), \(x = \frac{\pi}{4}\) (попадает в промежуток).
- При \(n = -1\), \(x = \frac{\pi}{4} - 2\pi\), что меньше, чем \(-\frac{3\pi}{2}\).
Для \(x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n\):
- При \(n = 0\), \(x = -\frac{\pi}{4}\) (попадает в промежуток).
- При \(n = -1\), \(x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi\), что меньше, чем \(-\frac{3\pi}{2}\).
Итак, у нас получились два корня, которые попадают в заданный отрезок: \(x = \frac{\pi}{4}\) и \(x = -\frac{\pi}{4}\).
Сложим их, разделим на \(\pi\):
\(\frac{\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}}{\pi} = \frac{0}{\pi} = 0\).
Ответ: 0.
