Когда окружность касается сторон треугольника, длины которых равны 9, 10 и 11, мы можем использовать свойство касательной, которое утверждает, что расстояние от точки касания до точки касания деленной линии (стороны треугольника) равно радиусу окружности.
Для стороны длиной 10 найдем длину наибольшего и наименьшего отрезков, на которые точка касания делит эту сторону. Пусть x - длина наибольшего отрезка, а y - длина наименьшего отрезка.
Так как сумма отрезков, на которые точка касания делит стороны треугольника, равна длине этой стороны, то x + y = 10.
Теперь рассмотрим треугольник с длинами сторон 9, 11 и x. Он также является прямоугольным треугольником с радиусом окружности как гипотенузой. Применим теорему Пифагора: 9^2 + x^2 = r^2, где r - радиус окружности.
Аналогично, для треугольника с длинами сторон 11, 9 и y: 11^2 + y^2 = r^2.
Решая систему уравнений, мы находим значения x и y:
x = 5, y = 5.
Таким образом, наибольший отрезок равен 5, а наименьший также равен 5.
