283. Диаметр РЕ окружности пересекает хорду МК в точке А, яв ляющейся серединой этой хорды, АМ = 3 см. ДРКА = 60°. Най- дите длину хорды РК.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством центрального угла, которое гласит, что центральный угол, опирающийся на дугу, равен удвоенному углу, образованному хордой, стягивающей эту дугу. Таким образом, угол РКА равен половине угла на центре DRK, то есть 30°, так как угол DRKА равен 60°. Далее, так как точка А является серединой хорды МК, то отношение длины хорды к радиусу окружности равно √3. Так как AM = 3 см, то MK = 2*AM = 6 см. Теперь, используя теорему косинусов в треугольнике РКМ с углом 30°, найдем длину хорды РК: RK^2 = RM^2 + MK^2 - 2*RM*MK*cos(30°) RK^2 = RM^2 + 6^2 - 2*RM*6*(√3/2) RK^2 = RM^2 + 36 - 6√3*RM RK = √(RM^2 + 36 - 6√3*RM). Для нахождения длины хорды РК надо найти RM. Так как AM является половиной хорды, то MK = 2 * AM. А так как треугольник РАМ - равносторонний, получаем RM = AM = 3 см. Подставив RM = 3 см в формулу RK, найдем: RK = √(3^2 + 36 - 6√3*3) RK = √(9 + 36 - 18√3) RK = √(45 - 18√3) RK = 3√5 - 3√2 см. Таким образом, длина хорды РК равна 3√5 - 3√2 см.