Окружности с центрами в точках М и N пересекаются в точках S и Т, причём точки М и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.

Доказательство перпендикулярности прямых MN и ST можно провести следующим образом: Поскольку окружности с центрами в точках М и N пересекаются в точках S и Т, то отрезки MS и NS равны по длине, так как они являются радиусами одной и той же окружности. Аналогично, отрезки MT и NT равны. Так как точки М и N лежат по одну сторону от прямой ST, а радиусы окружностей равны, то треугольник MST конгруэнтен треугольнику NST по стороне MS=NS, стороне ST и общей вершине S. Из совпадения треугольников следует, что угол MNS равен углу NTS и угол NMS равен углу NTS. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то углы MNS и NMS в сумме дают 180 градусов, и следовательно, прямые MN и ST перпендикулярны. Таким образом, прямые MN и ST перпендикулярны.