В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка 0 является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

В данной задаче нам дан параллелограмм ABCD с проведенной диагональю AC и точка О, которая является центром вписанной в треугольник АВС окружности. Мы также знаем, что расстояния от точки О до точки А и прямых AD и AC равны 5, 4 и 3 соответственно. Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, давайте воспользуемся информацией о треугольнике АВС, в который вписана окружность. По свойству вписанной окружности, сумма длин отрезков, проведенных от точки пересечения окружности с сторонами треугольника АВС до вершин треугольника, равна периметру треугольника. То есть, длины отрезков OA, OB и OC в сумме равны периметру треугольника АВС. Так как мы знаем расстояния OA, AD и AC, можем записать: OA + AD + AC = 5 + 4 + 3 = 12. Так как OA + OB + OC = 12, и О — центр вписанной в треугольник АВС окружности, то OB и OC равны по длине, так как это радиусы вписанной окружности. Итак, OB = OC = 6. Теперь мы можем рассмотреть треугольник АОВ, который является прямоугольным, так как у него два радиуса и одна сторона параллелограмма ABCD. Мы знаем, что OA = 5, OB = OC = 6, соответственно, иначе АО = \sqrt{OB^2 - OA^2} = \sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{36 - 25} = \sqrt{11}. Так как треугольник АОВ прямоугольный с катетами 5 и \sqrt{11}, его площадь равна (5 * \sqrt{11}) / 2 = (5\sqrt{11}) / 2, что составляет половину площади параллелограмма ABCD. Таким образом, чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, умножим полученное значение на 2: 2 * (5\sqrt{11}) / 2 = 5\sqrt{11}. Итак, площадь параллелограмма ABCD равна 5\sqrt{11}.