3. Точка D принадлежит стороне АВ треугольника АВС (рис. 143). В треугольники ABD и DBC вписаны окружности соответственно с центрами О1 и О2. Известно, что /O BО, = 45°. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

Для доказательства, что треугольник ABC прямоугольный, обратимся к теореме о вписанном угле. Итак, у нас есть треугольники ABD и DBC с вписанными окружностями и центрами O1 и O2 соответственно. Дано, что угол внутри равных дуг равен половине угла на центр (то есть, угол, образованный окружностью, равен углу, накрытому этой дугой). Поскольку OB и OC - радиусы вписанных окружностей, у нас получается, что углы в треугольниках ABD и DBC равны, так как они соответствуют равным дугам на этих окружностях. Таким образом, у нас есть угол OBD = угол OCB = 45°. Теперь обратим внимание на треугольник ABC. У нас есть угол между сторонами AB и AC, который является суммой углов в треугольниках ABD и DBC. Из свойства вписанных углов следует, что этот угол равен 90°. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным.