найди промежутки возрастания и убывания и точки экстремума f(x)=x²×√4-x
Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции f(x) = x² * √(4-x) нам необходимо найти ее производную и проанализировать ее поведение.
Найдем производную функции f'(x) с помощью правил дифференцирования: f(x) = x² * √(4-x) f'(x) = [2x * √(4-x)] + [x² * 1/(2√(4-x)) * (-1)] f'(x) = 2x * √(4-x) - x² / (2√(4-x)) f'(x) = 2x * √(4-x) - x / (2 * √(4-x))
Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и найдем соответствующие значения x: 2x * √(4-x) - x / (2√(4-x)) = 0 2x * √(4-x) = x / (2√(4-x)) 4x² * (4-x) = x 16x² - 4x² = x 12x² = x 12x² - x = 0 x(12x - 1) = 0 x = 0 или x = 1/12
Теперь проанализируем поведение производной в интервалах между найденными точками и за пределами:
- При x < 0 и x > 1/12 функция возрастает.
- В интервале 0 < x < 1/12 функция убывает.
- Таким образом, точка экстремума находится в x = 1/12.
Таким образом, промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x² * √(4-x) определены, и точка экстремума найдена в x = 1/12.
