Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны. а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.

Конечно! Рассмотрим вашу задачу о треугольнике ABC и окружности, вписанной в него. ### Часть а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. Для начала, давайте обозначим угол между радиусом окружности, проведенным в точку P, и отрезком OP. Поскольку отрезки OC и QP параллельны, то углы ∠OQP и ∠OCP равны (по признаку пересечения параллельных прямых с секущей). Так как окружность касается стороны BC в точке P, то отрезок OP является перпендикуляром к стороне BC. Следовательно, ∠OBP = ∠OCP, поскольку оба этих угла образуются с радиусами окружности и точкой касания. Теперь обратим внимание на треугольники OBP и OCP: - Угол ∠OBP = угол ∠OCP (как только что мы показали). - Отрезки OP равны (так как это радиусы окружности). Согласно критерию равенства треугольников по двум углам и одной стороне, треугольники OBP и OCP равны. Это подразумевает, что отрезки OB и OC равны, то есть BC = AC. Так как у нас есть равные стороны в треугольнике ABC, то треугольник ABC является равнобедренным. ### Часть б) Найдите площадь треугольника BQP. Для нахождения площади треугольника BQP, нам нужно использовать известную формулу для нахождения площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \] 1. **Находим высоту BD**. Поскольку O делит высоту BD в отношении 3:1, это означает, что BO = 3/4 * BD, а OD = 1/4 * BD. 2. **Записываем AC**: По условию AC = 2a. 3. **Определяем основание BQ и высоту BQP**: - Параллельные отрезки OC и QP создают равные высоты из точек B и Q на линию CP. Отметим, что высота треугольника BQP будет равна BO, так как Q находится непосредственно над линией BD. Таким образом, мы можем выразить площадь треугольника BQP через основание и высоту: Если обозначить: - высоту BO = h = (3/4)BD - основание BQ = AC = 2a Теперь можем записать: \[ S_{BQP} = \frac{1}{2} \times BQ \times h \] Вставляем значения: \[ S_{BQP} = \frac{1}{2} \times 2a \times \frac{3}{4}BD \] Это выражение будет ответом на задачу. Чтобы получить численное значение, нужно знать величину BD. Если это дано, вы подставляете и получаете площадь. Если у вас есть дополнительные данные или вопросы, не стесняйтесь обращаться!