Смешав 8-процентный и 26- процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 16- процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного…
Смешав 8-процентный и 26- процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 16- процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 20-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 8-процентного раствора использовали для получения смеси?
Давайте решим эту задачу поэтапно.
Обозначим:
- \( x \) – количество килограммов 8-процентного раствора,
- \( y \) – количество килограммов 26-процентного раствора.
Сначала рассмотрим первую ситуацию, где добавляем 10 кг чистой воды:
- Содержимое кислоты в 8-процентном растворе: \( 0.08x \).
- Содержимое кислоты в 26-процентном растворе: \( 0.26y \).
- Общее количество раствора после добавления воды: \( x + y + 10 \) кг.
- Содержимое кислоты в получившемся 16-процентном растворе: \( 0.16(x + y + 10) \).
Теперь можем составить уравнение для этой ситуации:
\[ 0.08x + 0.26y = 0.16(x + y + 10). \]
Распределим правую часть:
\[ 0.08x + 0.26y = 0.16x + 0.16y + 1.6. \]
Теперь перенесем все в одну сторону:
\[ 0.08x + 0.26y - 0.16x - 0.16y - 1.6 = 0. \]
Соберем подобные:
\[ -0.08x + 0.10y - 1.6 = 0. \]
Упростим это уравнение:
\[ 0.10y = 0.08x + 1.6 \quad \text{или} \quad y = 0.8x + 16. \quad (1) \]
Теперь рассмотрим вторую ситуацию, где добавляем 10 кг 50-процентного раствора:
- В этом растворе содержание кислоты: \( 0.5 \times 10 = 5 \) кг.
- Общее количество раствора после добавления 50-процентного раствора: \( x + y + 10 \) кг.
- Содержимое кислоты в получившемся 20-процентном растворе: \( 0.20(x + y + 10) \).
Составим уравнение для второй ситуации:
\[ 0.08x + 0.26y + 5 = 0.20(x + y + 10). \]
Также распределим правую часть:
\[ 0.08x + 0.26y + 5 = 0.20x + 0.20y + 2. \]
Переносим все в одну часть:
\[ 0.08x + 0.26y + 5 - 0.20x - 0.20y - 2 = 0. \]
Соберем подобные:
\[ -0.12x + 0.06y + 3 = 0. \]
Упростим:
\[ 0.12x = 0.06y + 3 \quad \text{или} \quad y = 2x - 50. \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( y = 0.8x + 16 \)
- \( y = 2x - 50 \)
Приравняем правые части двух уравнений:
\[ 0.8x + 16 = 2x - 50. \]
Решим это уравнение:
\[ 16 + 50 = 2x - 0.8x, \] \[ 66 = 1.2x, \] \[ x = \frac{66}{1.2} = 55. \]
Теперь подставим значение \( x \) в одно из уравнений, чтобы найти \( y \). Подставим в первое уравнение:
\[ y = 0.8 \times 55 + 16 = 44 + 16 = 60. \]
Таким образом, количество килограммов 8-процентного раствора, которое использовали для получения смеси, равно 55 кг.
