В прямоугольный треугольник со сторонами 3 , 4 , 5 вписана окружность с центром I . Найдите расстояние от точки I до медианы, проведённой к гипотенузе треугольника.
Для решения данной задачи, сначала нужно вспомнить некоторые основные свойства прямоугольного треугольника и его окружности.
В прямоугольном треугольнике, как наш, с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5, окружность, вписанная в треугольник, касается всех трех сторон треугольника. Центр этой окружности (точка I) находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.
Найдём координаты точек треугольника. Для удобства можно расположить треугольник на координатной плоскости:
- A (0, 0) – первой вершине (угол между катетами)
- B (3, 0) – второй вершине (конец одного катета)
- C (3, 4) – третьей вершине (конец второго катета)
Найдём длину медианы к гипотенузе. Гипотенуза AB равна 5, поэтому медиана (M) будет делить её пополам. Чтобы найти координаты точки M, можно использовать формулу середины отрезка: \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] Где (x1, y1) и (x2, y2) — это координаты вершин A и B: \[ M = \left( \frac{0 + 3}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (1.5, 0) \]
Определим координаты точки I. Радиус вписанной окружности (r) можно найти по формуле: \[ r = \frac{S}{p} \] Где S — площадь треугольника, а p — полупериметр. Для данного треугольника:
- Площадь \( S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \).
- Полупериметр \( p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 \).
Тогда радиус r: \[ r = \frac{6}{6} = 1. \] Центр I вписанной окружности можно найти по формуле: \[ I_x = \frac{aA_x + bB_x + cC_x}{a + b + c}, \quad I_y = \frac{aA_y + bB_y + cC_y}{a + b + c}, \] где a, b, c — длины сторон, а A, B, C — соответствующие координаты вершин. Подставляя значения, получим: \[ I_x = \frac{4 \cdot 0 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3}{4 + 3 + 5} = \frac{0 + 9 + 15}{12} = 2, \] \[ I_y = \frac{4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 5 \cdot 4}{4 + 3 + 5} = \frac{0 + 0 + 20}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}. \] Следовательно, координаты точки I = (2, 5/3).
Найдём расстояние от I до медианы M. Используем формулу расстояния между двумя точками: \[ d = \sqrt{(I_x - M_x)^2 + (I_y - M_y)^2} \] Подставив полученные координаты: \[ d = \sqrt{(2 - 1.5)^2 + \left(\frac{5}{3} - 0\right)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + \left(\frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{0.25 + \frac{25}{9}}. \] Чтобы сложить эти дроби, приведём к общему знаменателю: \[ 0.25 = \frac{9}{36}, \quad \frac{25}{9} = \frac{100}{36}, \quad и \quad 0.25 + \frac{25}{9} = \frac{9 + 100}{36} = \frac{109}{36}. \] Теперь извлечём квадратный корень: \[ d = \sqrt{\frac{109}{36}} = \frac{\sqrt{109}}{6}. \]
Таким образом, расстояние от точки I до медианы, проведенной к гипотенузе треугольника, равно \( \frac{\sqrt{109}}{6} \).
