Точка на гипотенузе, равно удаленная от обеих сторон, делит гипотенузу на отрезки длинами 30 и 40. Найти катет треугольника

Для решения этой задачи используем свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора. Дано: - Гипотенуза делится на два отрезка длиной 30 и 40, что в сумме составляет 70. Обозначим длины катетов как \(a\) и \(b\). Так как точка на гипотенузе равно удалена от обеих сторон, воспользуемся следующим свойством: если точка равноудалена от обеих сторон в прямоугольном треугольнике, то она делит гипотенузу на отрезки, которые равны по отношению к катетам. Таким образом, для наших катетов можем записать: \[ \frac{a}{b} = \frac{30}{40} \implies \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \] Это означает, что \(a = \frac{3}{4}b\). Теперь подставим это выражение в теорему Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2, \] где \(c\) — длина гипотенузы. Подставим \(c = 70\) (так как \(30 + 40 = 70\)) и \(a = \frac{3}{4}b\): \[ \left(\frac{3}{4}b\right)^2 + b^2 = 70^2. \] Разложим уравнение: \[ \frac{9}{16}b^2 + b^2 = 4900. \] Сложим слагаемые: \[ \frac{9}{16}b^2 + \frac{16}{16}b^2 = \frac{25}{16}b^2 = 4900. \] Теперь умножим обе стороны на 16: \[ 25b^2 = 78400. \] Разделим на 25: \[ b^2 = 3136. \] Теперь извлечем квадратный корень: \[ b = 56. \] Теперь, подставив значение \(b\) обратно, найдем \(a\): \[ a = \frac{3}{4}b = \frac{3}{4} \cdot 56 = 42. \] Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны: - \(a = 42\) - \(b = 56\) Ответ: длины катетов треугольника 42 и 56.