Для решения этой задачи мы можем воспользоваться системой уравнений. Пусть скорость второго велосипедиста равна ( x ) км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста будет ( x + 2 ) км/ч, так как он едет на 2 км/ч быстрее.
Сначала найдем время, которое каждый велосипедист затрачивает на пробег в 224 километра.
Время второго велосипедиста:
[
t_2 = \frac{224}{x}
]
Время первого велосипедиста:
[
t_1 = \frac{224}{x + 2}
]
Согласно условию задачи, первый велосипедист прибыл на 2 часа раньше второго, поэтому можем записать уравнение:
[
t_2 - t_1 = 2
]
Подставим выражения для времён в это уравнение:
[
\frac{224}{x} - \frac{224}{x + 2} = 2
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( x(x + 2) ), чтобы избавиться от дробей:
[
224(x + 2) - 224x = 2x(x + 2)
]
Упрощаем уравнение:
[
224x + 448 - 224x = 2x^2 + 4x
]
Получаем:
[
448 = 2x^2 + 4x
]
Перепишем уравнение:
[
2x^2 + 4x - 448 = 0
]
Разделим всё на 2 для упрощения:
[
x^2 + 2x - 224 = 0
]
Теперь можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Здесь ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -224 ).
Сначала находим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-224) = 4 + 896 = 900
]
Теперь подставим значения в формулу:
[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 30}{2}
]
Получаем два возможных решения:
- ( x = \frac{28}{2} = 14 ) (положительный корень)
- ( x = \frac{-32}{2} = -16 ) (отрицательный корень, не подходит)
Таким образом, скорость второго велосипедиста составляет ( 14 ) км/ч, а скорость первого велосипедиста будет:
[
x + 2 = 14 + 2 = 16 \text{ км/ч}.
]
Ответ: скорость первого велосипедиста равна 16 км/ч, а скорость второго - 14 км/ч.
