Основание AB равнобедренного треугольника ABC равно 9,6. Найдите AC, если sin A = 7/25

В равнобедренном треугольнике ABC, где AB — основание и AC = BC, мы можем использовать данные значения для решения задачи.

Дано:

• Длина основания AB = 9,6.
• \(\sin A = \frac{7}{25}\).

Так как треугольник равнобедренный, угол A равен углу C, и нам нужно найти длину сторон AC и BC.

Сначала найдем высоту треугольника, проведенную из вершины A на основание BC. Эта высота делит основание AB пополам и образует два прямоугольных треугольника. Обозначим точку, где высота пересекает основание AB, как D. Тогда AD — высота, а BD = DC = \(\frac{AB}{2} = \frac{9,6}{2} = 4,8\).

Используем соотношение для синуса: \[ \sin A = \frac{AD}{AC}. \]

Из этого выражения можем найти высоту AD: \[ AD = AC \cdot \sin A. \]

Теперь выразим AC через AD: \[ AC = \frac{AD}{\sin A}. \]

Чтобы найти AD, воспользуемся прямоугольным треугольником ABD. По теореме Пифагора: \[ AC^2 = AD^2 + BD^2. \]

Так как BD = 4,8, подставим и получим: \[ AC^2 = AD^2 + 4.8^2. \]

Теперь выразим AD через AC, подставим его в уравнение: \[ AC^2 = (AC \cdot \sin A)^2 + 4.8^2, \] где \(\sin A = \frac{7}{25}\): \[ AC^2 = (AC \cdot \frac{7}{25})^2 + 4.8^2. \]

Разложим это уравнение: \[ AC^2 = AC^2 \cdot \left(\frac{7}{25}\right)^2 + 4.8^2. \]

Обозначим \(x = AC^2\): \[ x = \frac{49x}{625} + 23.04. \]

Решим это уравнение. Переместим все члены в одну сторону: \[ x - \frac{49x}{625} - 23.04 = 0. \]

Для удобства умножим все на 625, чтобы избавиться от дробей: \[ 625x - 49x - 14400 = 0. \]

Это упрощается до: \[ 576x = 14400. \] \[ x = \frac{14400}{576} = 25. \]

Теперь найдем AC: \[ AC = \sqrt{25} = 5. \]

Таким образом, длина сторон AC и BC равна 5.