В равнобедренном треугольнике ABC, где AB — основание и AC = BC, мы можем использовать данные значения для решения задачи.
Дано:
- Длина основания AB = 9,6.
- (\sin A = \frac{7}{25}).
Так как треугольник равнобедренный, угол A равен углу C, и нам нужно найти длину сторон AC и BC.
Сначала найдем высоту треугольника, проведенную из вершины A на основание BC. Эта высота делит основание AB пополам и образует два прямоугольных треугольника. Обозначим точку, где высота пересекает основание AB, как D. Тогда AD — высота, а BD = DC = (\frac{AB}{2} = \frac{9,6}{2} = 4,8).
Используем соотношение для синуса:
[
\sin A = \frac{AD}{AC}.
]
Из этого выражения можем найти высоту AD:
[
AD = AC \cdot \sin A.
]
Теперь выразим AC через AD:
[
AC = \frac{AD}{\sin A}.
]
Чтобы найти AD, воспользуемся прямоугольным треугольником ABD. По теореме Пифагора:
[
AC^2 = AD^2 + BD^2.
]
Так как BD = 4,8, подставим и получим:
[
AC^2 = AD^2 + 4.8^2.
]
Теперь выразим AD через AC, подставим его в уравнение:
[
AC^2 = (AC \cdot \sin A)^2 + 4.8^2,
]
где (\sin A = \frac{7}{25}):
[
AC^2 = (AC \cdot \frac{7}{25})^2 + 4.8^2.
]
Разложим это уравнение:
[
AC^2 = AC^2 \cdot \left(\frac{7}{25}\right)^2 + 4.8^2.
]
Обозначим (x = AC^2):
[
x = \frac{49x}{625} + 23.04.
]
Решим это уравнение. Переместим все члены в одну сторону:
[
x - \frac{49x}{625} - 23.04 = 0.
]
Для удобства умножим все на 625, чтобы избавиться от дробей:
[
625x - 49x - 14400 = 0.
]
Это упрощается до:
[
576x = 14400.
]
[
x = \frac{14400}{576} = 25.
]
Теперь найдем AC:
[
AC = \sqrt{25} = 5.
]
Таким образом, длина сторон AC и BC равна 5.
