В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, мы имеем стороны AC и BC, и гипотенузу AB. Дано, что AC = 12 см и высота CM, опущенная из вершины C на гипотенузу AB, равна 6 см.
Чтобы найти гипотенузу AB, можно использовать формулу для площади треугольника. Площадь треугольника можно выразить двумя способами:
- Через основание и высоту:
[ S = \frac{1}{2} \times AB \times CM ]
- Через две катеты:
[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC ]
Сначала найдем площадь через высоту:
[ S = \frac{1}{2} \times AB \times 6 ]
Теперь найдем площадь через катет AC и катет BC. Для этого нужно сначала разобраться, сколько у нас равен второй катет BC. Используем теорему Пифагора, чтобы выразить BC:
[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]
Здесь ( AC = 12 ) см, поэтому:
[ AB^2 = 12^2 + BC^2 ]
[ AB^2 = 144 + BC^2 ]
Теперь можем подставить значение площади в обе формулы, но сначала сделаем шаг и используем высоту для нахождения связи с BC:
Согласно свойству высоты, в прямоугольном треугольнике:
[ CM^2 = AC \times BC ]
Значит, знаем, что:
[ 6^2 = 12 \times BC ]
[ 36 = 12 \times BC ]
[ BC = 3 \text{ см} ]
Теперь, когда мы знаем оба катета, можем найти гипотенузу AB:
[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]
[ AB^2 = 12^2 + 3^2 ]
[ AB^2 = 144 + 9 = 153 ]
[ AB = \sqrt{153} \approx 12.37 \text{ см} ]
Таким образом, гипотенуза AB примерно равна 12.37 см.
