Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- скорость течения реки как ( v ) км/ч,
- скорость моторной лодки как ( v + 16 ) км/ч (так как лодка на 16 км/ч быстрее течения).
Теперь рассмотрим два случая: движение по морю и движение против течения.
- Движение по морю: 27 км лодка проплывает за ( t_1 ) часов.
- Движение против течения: 40 км лодка проплывает за ( t_2 ) часов.
Согласно условию, лодка проплывает по морю на 1 час быстрее, чем против течения:
[ t_2 = t_1 + 1 ]
Теперь выразим время в каждом случае через скорость и расстояние:
Для морского движения:
[ t_1 = \frac{27}{v + 16} ]
Для движения против течения:
[ t_2 = \frac{40}{v - 16} ]
Теперь подставим ( t_1 ) в уравнение для ( t_2 ):
[ \frac{40}{v - 16} = \frac{27}{v + 16} + 1 ]
Умножим все на ( (v - 16)(v + 16) ), чтобы избавиться от дробей:
[ 40(v + 16) = 27(v - 16) + (v - 16)(v + 16) ]
Теперь раскроем скобки:
[ 40v + 640 = 27v - 432 + (v^2 - 256) ]
Соберем все в одну сторону:
[ v^2 - 13v - 1368 = 0 ]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1368) = 169 + 5472 = 5641 ]
Теперь найдем корни:
[ v = \frac{13 \pm \sqrt{5641}}{2} ]
Подсчитаем ( \sqrt{5641} \approx 75.2 ), тогда:
[ v \approx \frac{13 + 75.2}{2} \approx 44.1 \text{ км/ч} ]
Теперь можем найти скорость моторной лодки:
[ v + 16 \approx 44.1 + 16 = 60.1 \text{ км/ч} ]
Таким образом, скорости составляют:
- Скорость течения реки примерно ( 44.1 ) км/ч,
- Скорость моторной лодки примерно ( 60.1 ) км/ч.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно подробнее разобрать какой-то шаг, не стесняйтесь спрашивать!
