Средней линией треугольника называется отрезок, соеди няющий середины двух его сторон. Докажите свойства сред ней линии треугольника: средняя линия треугольника парал лельна одной…

Давайте рассмотрим треугольник ABC, где D и E — это середины сторон AB и AC соответственно. Нам нужно доказать, что отрезок DE, соединяющий точки D и E, параллелен стороне BC и равен половине её длины.

Доказательство:

1. Определим координаты точек:

   • Пусть A(0, 0) — это вершина треугольника,
   • B(b, 0) — это точка на оси Х,
   • C(c, h) — это точка выше оси Х.

2. Теперь найдем координаты середины отрезка AB (точка D) и середины отрезка AC (точка E):

   • Середина отрезка AB: D = \(\left( \frac{0 + b}{2}, 0 \right) = \left( \frac{b}{2}, 0 \right)\).
   • Середина отрезка AC: E = \(\left( \frac{0 + c}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{c}{2}, \frac{h}{2} \right)\).

3. Теперь найдем вектор DE:

   • DE = E - D = \(\left( \frac{c}{2} - \frac{b}{2}, \frac{h}{2} - 0 \right) = \left( \frac{c - b}{2}, \frac{h}{2} \right)\).

4. Теперь найдем вектор BC:

   • BC = C - B = \((c - b, h - 0) = (c - b, h)\).

5. Вектор DE можно выразить как половину вектора BC:

   • DE = \(\frac{1}{2} \cdot (c - b, h)\). Это показывает, что длина отрезка DE равна половине длины отрезка BC.

6. Доказательство параллельности:

   • Если два вектора \( \mathbf{A} = (x_1, y_1) \) и \( \mathbf{B} = (x_2, y_2) \) параллельны, то они имеют одинаковое направление, что можно проверить по отношению их компонентов:
   • DE и BC имеют одно и то же направление, так как их компоненты пропорциональны: \[ \frac{\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} = 1. \] Это указывает, что DE параллелен BC.

Таким образом, мы доказали, что средняя линия DE треугольника ABC параллельна стороне BC и равна половине её длины.