Чтобы найти (\sin a) при условии, что (\cos a = -\frac{1}{4}), мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:
[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
]
Подставим известное значение (\cos a):
[
\sin^2 a + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1
]
Это упрощается до:
[
\sin^2 a + \frac{1}{16} = 1
]
Теперь, вычтем (\frac{1}{16}) из обеих сторон:
[
\sin^2 a = 1 - \frac{1}{16}
]
Чтобы вычесть дроби, приведём 1 к общему знаменателю:
[
1 = \frac{16}{16}
]
Таким образом:
[
\sin^2 a = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
]
Теперь найдём (\sin a), взяв квадратный корень из обеих сторон:
[
\sin a = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}
]
Знак зависит от того, в каком квадранте находится угол (a). Если (\cos a = -\frac{1}{4}), это значит, что угол (a) находится во втором или третьем квадранте. В втором квадранте (\sin a) положителен, а в третьем квадранте — отрицателен.
Таким образом, мы получаем два возможных значения для (\sin a):
[
\sin a = \frac{\sqrt{15}}{4} \quad \text{или} \quad \sin a = -\frac{\sqrt{15}}{4}
]
Если у вас будут дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!
