В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса г. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, г = 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки,…

Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, в который вписана окружность радиуса \( r \), можно воспользоваться следующими формулами:

1. Для случая (а): применим известную формулу для периметра \( P \) треугольника: \( P = a + b + c \), где \( a \) и \( b \) - катеты, а \( c \) - гипотенуза.

При этом связь между радиусом вписанной окружности \( r \) и сторонами треугольника можно выразить как: \[ r = \frac{S}{p} \] где \( S \) - площадь треугольника, \( p \) - полупериметр. Полупериметр выражается как \( p = \frac{a + b + c}{2} \).

Известно, что площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2}ab \]

1. а) Найдем периметр треугольника, если гипотенуза \( c = 26 \) см и радиус \( r = 4 \) см.

Сначала найдем полупериметр: \[ p = r \cdot \frac{a + b + c}{2} = 4 \cdot p. \] Отсюда получаем: \[ p = 4r = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см.} \] Следовательно, периметр \( P = 2p = 2 \cdot 16 = 32 \) см.

2. б) Если точка касания делит гипотенузу на отрезки равные 5 см и 12 см, то гипотенза \( c = 5 + 12 = 17 \) см.

Обозначим за \( a \) и \( b \) катеты. Тогда по свойству прямоугольного треугольника имеем: \[ a + b = p - 17 / 2 = \frac{a + b + c}{2} - 17/2. \] Согласно свойству, отрезки касания \( g_a \) и \( g_b \) равны:

• \( g_a = 5 \) см (от касательной к катету \( a \))
• \( g_b = 12 \) см (от касательной к катету \( b \))

Используя формулу для радиуса окружности: \[ r = \frac{S}{p}, \] при этом: \[ S = \frac{1}{2}ab \text{ и } p = \frac{a + b + c}{2}. \] Используем известные значения: Гипотенуза: 17, а кусочки касания суммируются: \[ a = g_a + g_a, b = g_b + g_b = 5 + 5 + 12 + 12 \text{ (обе стороны)}. \] Таким образом, получим: \[ P = 5 + 12 + 17 = 34 \text{ см.} \]

В итоге:

• а) Периметр \( 32 \text{ см}\)
• b) Периметр \( 34 \text{ см}\)