Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, в который вписана окружность радиуса ( r ), можно воспользоваться следующими формулами:
- Для случая (а): применим известную формулу для периметра ( P ) треугольника: ( P = a + b + c ), где ( a ) и ( b ) - катеты, а ( c ) - гипотенуза.
При этом связь между радиусом вписанной окружности ( r ) и сторонами треугольника можно выразить как:
[
r = \frac{S}{p}
]
где ( S ) - площадь треугольника, ( p ) - полупериметр. Полупериметр выражается как ( p = \frac{a + b + c}{2} ).
Известно, что площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{1}{2}ab
]
- а) Найдем периметр треугольника, если гипотенуза ( c = 26 ) см и радиус ( r = 4 ) см.
Сначала найдем полупериметр:
[
p = r \cdot \frac{a + b + c}{2} = 4 \cdot p.
]
Отсюда получаем:
[
p = 4r = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см.}
]
Следовательно, периметр ( P = 2p = 2 \cdot 16 = 32 ) см.
- б) Если точка касания делит гипотенузу на отрезки равные 5 см и 12 см, то гипотенза ( c = 5 + 12 = 17 ) см.
Обозначим за ( a ) и ( b ) катеты. Тогда по свойству прямоугольного треугольника имеем:
[
a + b = p - 17 / 2 = \frac{a + b + c}{2} - 17/2.
]
Согласно свойству, отрезки касания ( g_a ) и ( g_b ) равны:
- ( g_a = 5 ) см (от касательной к катету ( a ))
- ( g_b = 12 ) см (от касательной к катету ( b ))
Используя формулу для радиуса окружности:
[
r = \frac{S}{p},
]
при этом:
[
S = \frac{1}{2}ab \text{ и } p = \frac{a + b + c}{2}.
]
Используем известные значения:
Гипотенуза: 17, а кусочки касания суммируются:
[
a = g_a + g_a, b = g_b + g_b = 5 + 5 + 12 + 12 \text{ (обе стороны)}.
]
Таким образом, получим:
[
P = 5 + 12 + 17 = 34 \text{ см.}
]
В итоге:
- а) Периметр ( 32 \text{ см})
- b) Периметр ( 34 \text{ см})
