Дано : DABC - правильный тетраэдр , биссектриса DM = √12 найти : AC + BD

Для решения задачи начнем с рассмотрения правильного тетраэдра DABC. В правильном тетраэдре все ребра равны. Обозначим длину ребра тетраэдра как \( a \). Мы знаем, что \( DM \) — это биссектрисса угла при вершине \( D \), опускаемая на сторону \( ABC \). Так как ABC — равнобедренный треугольник, биссектрисса делит его на два равных угла. Отметим, что \( M \) находится на середине отрезка \( AB \). Для нахождения длины отрезков \( AC \) и \( BD \), используем свойства правильного тетраэдра: 1. Длина отрезка \( AC \) равна длине ребра \( a \). 2. Таким образом, отрезок \( AB \) также равен \( a \), а \( BD \) будет равен длине ребра \( a \). Теперь, чтобы найти \( AC + BD \): \[ AC + BD = a + a = 2a. \] Теперь нам нужно найти длину ребра \( a \) через известную длину биссектриссы. Формула для длины биссектриссы \( DM \) в тетраэдре, опускаемой из вершины до противоположной стороны, составляет: \[ DM = \frac{\sqrt{6}}{3} a. \] Согласно условию, \( DM = \sqrt{12} \). Подставим это значение в формулу: \[ \frac{\sqrt{6}}{3} a = \sqrt{12}. \] Теперь выразим \( a \): 1. Умножим обе стороны на 3: \[ \sqrt{6} a = 3\sqrt{12}. \] 2. Упростим \( \sqrt{12} \): \[ \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. \] 3. Подставим: \[ \sqrt{6} a = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}. \] 4. Теперь найдем \( a \): \[ a = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 6 \cdot \sqrt{\frac{3}{6}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2 \cdot 3}} = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}. \] Теперь, подставим \( a \) обратно в выражение \( AC + BD \): \[ AC + BD = 2a = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}. \] Таким образом, найденное значение: \[ AC + BD = 6\sqrt{2}. \]