Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность того, что ни разу не выпадут два орла подряд.

Чтобы решить задачу о вероятности того, что при 10 бросках монеты ни разу не выпадут два орла подряд, можно использовать методы комбинаторики и теорию вероятностей. Обозначим: - \( H \) — орел. - \( T \) — решка. Итак, мы хотим найти количество всех возможных последовательностей из 10 бросков, в которых не будут два подряд идущих орла. Для этого удобно использовать рекуррентное соотношение. Определим: - \( a_n \) — количество допустимых последовательностей длины \( n \) (т.е. последовательностей, в которых не более одного орла подряд). Мы можем иметь: 1. Последний бросок — решка, тогда перед ним могут стоять любые последовательности длины \( n-1 \). 2. Последний бросок — орел, тогда перед ним обязательно должна быть решка, и перед ней может стоять любая допустимая последовательность длины \( n-2 \). Запишем рекуррентное соотношение: \[ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \] Теперь определим базовые случаи: - \( a_1 = 2 \) (можно получить только \( H \) или \( T \)). - \( a_2 = 3 \) (возможные последовательности: \( HT, TH, TT \)). Теперь можем вычислить \( a_n \) для \( n = 10 \): 1. \( a_3 = a_2 + a_1 = 3 + 2 = 5 \) 2. \( a_4 = a_3 + a_2 = 5 + 3 = 8 \) 3. \( a_5 = a_4 + a_3 = 8 + 5 = 13 \) 4. \( a_6 = a_5 + a_4 = 13 + 8 = 21 \) 5. \( a_7 = a_6 + a_5 = 21 + 13 = 34 \) 6. \( a_8 = a_7 + a_6 = 34 + 21 = 55 \) 7. \( a_9 = a_8 + a_7 = 55 + 34 = 89 \) 8. \( a_{10} = a_9 + a_8 = 89 + 55 = 144 \) Таким образом, \( a_{10} = 144 \). Теперь найдем общее количество всех возможных последовательностей из 10 бросков монеты. Каждое из 10 бросков может быть либо орлом, либо решкой, что дает \( 2^{10} = 1024 \) последовательностей. Следовательно, вероятность \( P \), что ни разу не выпадут два орла подряд, можно найти по формуле: \[ P = \frac{a_{10}}{2^{10}} = \frac{144}{1024} = \frac{9}{64}. \] Таким образом, искомая вероятность составляет \( \frac{9}{64} \).