Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность того, что ни разу не выпадут два орла подряд.

Чтобы решить задачу о вероятности того, что при 10 бросках монеты ни разу не выпадут два орла подряд, можно использовать методы комбинаторики и теорию вероятностей.

Обозначим:

• \( H \) — орел.
• \( T \) — решка.

Итак, мы хотим найти количество всех возможных последовательностей из 10 бросков, в которых не будут два подряд идущих орла.

Для этого удобно использовать рекуррентное соотношение. Определим:

• \( a_n \) — количество допустимых последовательностей длины \( n \) (т.е. последовательностей, в которых не более одного орла подряд).

Мы можем иметь:

1. Последний бросок — решка, тогда перед ним могут стоять любые последовательности длины \( n-1 \).
2. Последний бросок — орел, тогда перед ним обязательно должна быть решка, и перед ней может стоять любая допустимая последовательность длины \( n-2 \).

Запишем рекуррентное соотношение: \[ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \]

Теперь определим базовые случаи:

• \( a_1 = 2 \) (можно получить только \( H \) или \( T \)).
• \( a_2 = 3 \) (возможные последовательности: \( HT, TH, TT \)).

Теперь можем вычислить \( a_n \) для \( n = 10 \):

1. \( a_3 = a_2 + a_1 = 3 + 2 = 5 \)
2. \( a_4 = a_3 + a_2 = 5 + 3 = 8 \)
3. \( a_5 = a_4 + a_3 = 8 + 5 = 13 \)
4. \( a_6 = a_5 + a_4 = 13 + 8 = 21 \)
5. \( a_7 = a_6 + a_5 = 21 + 13 = 34 \)
6. \( a_8 = a_7 + a_6 = 34 + 21 = 55 \)
7. \( a_9 = a_8 + a_7 = 55 + 34 = 89 \)
8. \( a_{10} = a_9 + a_8 = 89 + 55 = 144 \)

Таким образом, \( a_{10} = 144 \).

Теперь найдем общее количество всех возможных последовательностей из 10 бросков монеты. Каждое из 10 бросков может быть либо орлом, либо решкой, что дает \( 2^{10} = 1024 \) последовательностей.

Следовательно, вероятность \( P \), что ни разу не выпадут два орла подряд, можно найти по формуле: \[ P = \frac{a_{10}}{2^{10}} = \frac{144}{1024} = \frac{9}{64}. \]

Таким образом, искомая вероятность составляет \( \frac{9}{64} \).