7.Площадь сечения шара плоскостью проведенной через конец диаметра под углом 30 ° к нему, равна 75п см2. Найдите диаметр шара.

Для решения этой задачи будем использовать формулу для площади сечения шара плоскостью.

Если диаметр шара \( D \), радиус \( R = \frac{D}{2} \), и площадь сечения шара плоскостью, проведенной под углом \( \theta \) к диаметру, определяется формулой:

\[ S = \pi R^2 \sin(\theta) \]

Где:

• \( S \) — площадь сечения;
• \( R \) — радиус шара;
• \( \theta \) — угол между плоскостью сечения и диаметром шара.

В данном случае дана площадь сечения \( S = 75\pi \) см² и угол \( \theta = 30^\circ \). Заметим, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\).

Подставим известные значения в формулу:

\[ 75\pi = \pi R^2 \sin(30^\circ) \]

Упрощаем:

\[ 75\pi = \pi R^2 \cdot \frac{1}{2} \]

Сократим \(\pi\) (предполагая, что \(\pi \neq 0\)):

\[ 75 = \frac{1}{2} R^2 \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ 150 = R^2 \]

Теперь найдем радиус \( R \):

\[ R = \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \text{ см} \]

И теперь можем найти диаметр \( D \):

\[ D = 2R = 2 \cdot 5\sqrt{6} = 10\sqrt{6} \text{ см} \]

Таким образом, диаметр шара равен \( 10\sqrt{6} \) см.