Для решения этой задачи будем использовать формулу для площади сечения шара плоскостью.
Если диаметр шара ( D ), радиус ( R = \frac{D}{2} ), и площадь сечения шара плоскостью, проведенной под углом ( \theta ) к диаметру, определяется формулой:
[
S = \pi R^2 \sin(\theta)
]
Где:
- ( S ) — площадь сечения;
- ( R ) — радиус шара;
- ( \theta ) — угол между плоскостью сечения и диаметром шара.
В данном случае дана площадь сечения ( S = 75\pi ) см² и угол ( \theta = 30^\circ ). Заметим, что (\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}).
Подставим известные значения в формулу:
[
75\pi = \pi R^2 \sin(30^\circ)
]
Упрощаем:
[
75\pi = \pi R^2 \cdot \frac{1}{2}
]
Сократим (\pi) (предполагая, что (\pi \neq 0)):
[
75 = \frac{1}{2} R^2
]
Умножим обе стороны на 2:
[
150 = R^2
]
Теперь найдем радиус ( R ):
[
R = \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \text{ см}
]
И теперь можем найти диаметр ( D ):
[
D = 2R = 2 \cdot 5\sqrt{6} = 10\sqrt{6} \text{ см}
]
Таким образом, диаметр шара равен ( 10\sqrt{6} ) см.
