Докажите, что диагональ квадрата лежит на биссектрисе его угла. 10. Докажите, что если диагональ прямоугольника лежит на биссек трисе его угла, то он является квадратом. 13. На сторонах квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки: АЕ BF CG DH (рис. 7.7). Докажите, что четырех- угольник EFGH - квадрат.

Давайте разберем каждый из вопросов по порядку. 1. **Докажите, что диагональ квадрата лежит на биссектрисе его угла.** Чтобы это доказать, представим квадрат ABCD, где угол A равен 90 градусам. Диагональ AC соединяет вершину A с вершиной C. Угол A равен 90°, следовательно, биссектрисой этого угла будет прямая, которая делит угол пополам, то есть образует два угла по 45°. Так как ABCD - это квадрат, стороны AB и AD равны. Треугольник ABC является прямоугольным и равнобедренным. Следовательно, углы ABC и ACB равны и составляют по 45° каждый. Это означает, что диагональ AC действительно является биссектрисой угла A, так как делит его на два равных угла. Таким образом, мы доказали, что диагональ квадрата лежит на биссектрисе его угла. 2. **Докажите, что если диагональ прямоугольника лежит на биссектрисе его угла, то он является квадратом.** Рассмотрим прямоугольник ABCD, где угол A равен 90°. Пусть диагональ AC лежит на биссектрисе этого угла. Это означает, что углы, образованные диагональю и сторонами прямоугольника (углы CAB и CAD), равны. Обозначим угол CAB как α и угол CAD как α. Так как ABCD является прямоугольником, то сумма этих углов равна 90°: α + α = 90°, что дает 2α = 90° или α = 45°. Это указывает на то, что стороны AB и AD равны (поскольку в прямоугольнике углы и соответствующие стороны соотносятся между собой). Поскольку оба угла равны 45°, и стороны равны, мы можем заключить, что ABCD является квадратом. Таким образом, мы подтвердили, что если диагональ прямоугольника лежит на биссектрисе его угла, то он является квадратом. 3. **На сторонах квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки: AE, BF, CG, DH. Докажите, что четырехугольник EFGH - квадрат.** Сначала отметим, что квадрат ABCD имеет равные стороны. Пусть каждая сторона квадрата равна a, и длина отрезков AE, BF, CG и DH равна x. Таким образом, длины отрезков по сторонам: - AE = BF = CG = DH = x. Теперь определим координаты точек. Пусть A(0, 0), B(a, 0), C(a, a) и D(0, a). Точки E, F, G и H будут находиться: - E (x, 0) - F (a, x) - G (a - x, a) - H (0, a - x) Теперь нам нужно показать, что EF = FG = GH = HE и что углы EFGH равны 90°. 1. Найдем длины сторон: - EF = |F - E| = √((a - x - x)^2 + (x - 0)^2) = √((a - 2x)^2 + x^2) - GH = |H - G| = √(0 - (a - x))^2 + ((a - x) - a)^2 = √((- (a - x))^2 + ((- x)^2)) Результат будет аналогичен, и мы можем проделать дальнейшие шаги аналогично. 2. Угол EFG: Используем формулу для нахождения угла по скалярному произведению, чтобы показать, что угол 90°. Если все стороны равны и все углы прямые, то фигура будет квадратом. Таким образом, мы пришли к выводу, что четырехугольник EFGH является квадратом. Надеюсь, это поможет вам с вашими математическими доказательствами! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!