Для решения этой задачи нам нужно определить скорость моторной лодки относительно воды.
Обозначим:
- ( v ) – скорость моторной лодки относительно воды (км/ч).
- Текущая скорость реки равна ( 2 ) км/ч.
Когда лодка движется против течения, ее эффективная скорость будет ( v - 2 ) км/ч, а при движении по течению – ( v + 2 ) км/ч.
Лодка прошла 16 км против течения, и 12 км по течению. Общее время в пути составляет 3 часа. Используя формулу времени ( t = \frac{s}{v} ), можем записать уравнение для времени:
Время в пути против течения:
[
t_1 = \frac{16}{v - 2}
]
Время в пути по течению:
[
t_2 = \frac{12}{v + 2}
]
Общее время в пути равно 3 часам:
[
t_1 + t_2 = 3
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ) в это уравнение:
[
\frac{16}{v - 2} + \frac{12}{v + 2} = 3
]
Теперь решим это уравнение. Сначала найдем общий знаменатель:
[
(v - 2)(v + 2)
]
Тогда уравнение принимает вид:
[
16(v + 2) + 12(v - 2) = 3(v^2 - 4)
]
Раскроем скобки:
[
16v + 32 + 12v - 24 = 3v^2 - 12
]
Сложим подобные:
[
28v + 8 = 3v^2 - 12
]
Переносим все в одну часть уравнения:
[
3v^2 - 28v - 20 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 784 + 240 = 1024
]
Находим корни:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm 32}{6}
]
Это дает два решения:
- ( v = \frac{60}{6} = 10 ) км/ч
- ( v = \frac{-4}{6} ) (это отрицательное значение, которое нам не подходит)
Таким образом, скорость моторной лодки относительно воды составляет 10 км/ч.
