Определите светимость Полярной звезды. Радиус звезды больше радиуса Солнца в 37,5 раз, температура 7000 К.
Чтобы определить светимость Полярной звезды (или Альфа Уйта), можно использовать закон Стефана-Больцмана и формулу светимости. Светимость звезды \( L \) можно рассчитать по следующей формуле:
\[ L = 4 \pi R^2 \sigma T^4 \]
где:
- \( R \) — радиус звезды,
- \( T \) — температура звезды,
- \( \sigma \) — постоянная Стефана-Больцмана, равная примерно \( 5.67 \times 10^{-8} \, \text{Вт/(м}^2 \text{К}^4) \).
Сначала определим радиус Полярной звезды. Если радиус Полярной звезды больше радиуса Солнца в 37.5 раз, то:
\[ R = 37.5 \times R_{\odot} \]
Где \( R_{\odot} \) — радиус Солнца, который составляет примерно \( 6.96 \times 10^8 \, \text{м} \). Следовательно:
\[ R = 37.5 \times 6.96 \times 10^8 \, \text{м} \approx 2.61 \times 10^{10} \, \text{м} \]
Теперь подставим известные значения в формулу для светимости. Температура \( T = 7000 \, \text{К} \), тогда:
\[ \sigma T^4 = 5.67 \times 10^{-8} \times (7000)^4 \]
Вычислим \( T^4 \):
\[ (7000)^4 = 2.41 \times 10^{15} \, \text{К}^4 \]
Теперь подставим значение в формулу:
\[ \sigma T^4 \approx 5.67 \times 10^{-8} \times 2.41 \times 10^{15} \approx 1.37 \times 10^{8} \, \text{Вт/м}^2 \]
Теперь подставим \( R \) и \( \sigma T^4 \) в формулу светимости:
\[ L = 4 \pi (2.61 \times 10^{10})^2 (1.37 \times 10^{8}) \]
Вычисление:
- \( (2.61 \times 10^{10})^2 \approx 6.81 \times 10^{20} \, \text{м}^2 \)
- \( 4 \pi \times 6.81 \times 10^{20} \approx 8.55 \times 10^{21} \, \text{м}^2 \)
Теперь умножаем:
\[ L \approx 8.55 \times 10^{21} \times 1.37 \times 10^{8} \approx 1.17 \times 10^{30} \, \text{Вт} \]
Таким образом, светимость Полярной звезды составляет примерно \( 1.17 \times 10^{30} \, \text{Вт} \). Это значительно больше светимости Солнца, что и объясняет её яркость на ночном небе.
