Чтобы определить светимость Полярной звезды (или Альфа Уйта), можно использовать закон Стефана-Больцмана и формулу светимости. Светимость звезды ( L ) можно рассчитать по следующей формуле:
[
L = 4 \pi R^2 \sigma T^4
]
где:
- ( R ) — радиус звезды,
- ( T ) — температура звезды,
- ( \sigma ) — постоянная Стефана-Больцмана, равная примерно ( 5.67 \times 10^{-8} , \text{Вт/(м}^2 \text{К}^4) ).
Сначала определим радиус Полярной звезды. Если радиус Полярной звезды больше радиуса Солнца в 37.5 раз, то:
[
R = 37.5 \times R_{\odot}
]
Где ( R_{\odot} ) — радиус Солнца, который составляет примерно ( 6.96 \times 10^8 , \text{м} ). Следовательно:
[
R = 37.5 \times 6.96 \times 10^8 , \text{м} \approx 2.61 \times 10^{10} , \text{м}
]
Теперь подставим известные значения в формулу для светимости. Температура ( T = 7000 , \text{К} ), тогда:
[
\sigma T^4 = 5.67 \times 10^{-8} \times (7000)^4
]
Вычислим ( T^4 ):
[
(7000)^4 = 2.41 \times 10^{15} , \text{К}^4
]
Теперь подставим значение в формулу:
[
\sigma T^4 \approx 5.67 \times 10^{-8} \times 2.41 \times 10^{15} \approx 1.37 \times 10^{8} , \text{Вт/м}^2
]
Теперь подставим ( R ) и ( \sigma T^4 ) в формулу светимости:
[
L = 4 \pi (2.61 \times 10^{10})^2 (1.37 \times 10^{8})
]
Вычисление:
- ( (2.61 \times 10^{10})^2 \approx 6.81 \times 10^{20} , \text{м}^2 )
- ( 4 \pi \times 6.81 \times 10^{20} \approx 8.55 \times 10^{21} , \text{м}^2 )
Теперь умножаем:
[
L \approx 8.55 \times 10^{21} \times 1.37 \times 10^{8} \approx 1.17 \times 10^{30} , \text{Вт}
]
Таким образом, светимость Полярной звезды составляет примерно ( 1.17 \times 10^{30} , \text{Вт} ). Это значительно больше светимости Солнца, что и объясняет её яркость на ночном небе.
