Для нахождения радиуса окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, можно использовать следующую формулу:
[ r = \frac{a + b - c}{2} ]
где ( r ) — радиус вписанной окружности, ( a ) и ( b ) — катеты, а ( c ) — гипотенуза.
В данном случае оба катета равны ( a = b = 98 + 49\sqrt{2} ).
Сначала найдем гипотенузу ( c ) с помощью теоремы Пифагора:
[ c = \sqrt{a^2 + b^2} ]
Подставляем значения катетов:
[ c = \sqrt{(98 + 49\sqrt{2})^2 + (98 + 49\sqrt{2})^2} ]
[ c = \sqrt{2(98 + 49\sqrt{2})^2} ]
[ c = \sqrt{2} \cdot (98 + 49\sqrt{2}) ]
Теперь найдем ( c^2 ):
[ c^2 = 2(98 + 49\sqrt{2})^2 ]
[ = 2(9604 + 2 \cdot 98 \cdot 49\sqrt{2} + 2401) ]
[ = 2(12005 + 9604\sqrt{2}) ]
Теперь подставим найденные значения в формулу радиуса ( r ):
[ r = \frac{(98 + 49\sqrt{2}) + (98 + 49\sqrt{2}) - \sqrt{2}(98 + 49\sqrt{2})}{2} ]
[ = \frac{2(98 + 49\sqrt{2}) - \sqrt{2}(98 + 49\sqrt{2})}{2} ]
Теперь упростим это выражение. Один из способов — вынести общий множитель:
[ = \frac{(2 - \sqrt{2})(98 + 49\sqrt{2})}{2} ]
Таким образом, радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен:
[ r = \frac{(2 - \sqrt{2})(98 + 49\sqrt{2})}{2} ]
Если вам нужно проделать дополнительные шаги, такие как вычисление численного значения или уточнение каких-либо нюансов, дайте знать, и я с радостью помогу!
